Решение: Рав distances до сторон
Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.
Решение по шагам
3 шагаТочка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, сторонами которого являются прямые $BC$ и $CD$. По свойству биссектрисы расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.
$$\rho(P,BC)=\rho(P,CD)$$Точка $P$ также лежит на биссектрисе угла $D$, сторонами которого являются прямые $CD$ и $AD$. Поэтому расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.
$$\rho(P,CD)=\rho(P,AD)$$Из двух равенств следует, что расстояния от точки $P$ до всех трёх прямых одинаковы.
$$\rho(P,BC)=\rho(P,CD)=\rho(P,AD)$$Поскольку точка $P$ лежит на биссектрисах углов $C$ и $D$, она равноудалена от сторон каждого из этих углов. Следовательно, $\rho(P,BC)=\rho(P,CD)=\rho(P,AD)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Утверждать равенство расстояний без ссылки на свойство биссектрисы.
Рассматривать расстояние до стороны как расстояние до вершины.
Не использовать тот факт, что одна из общих сторон углов $C$ и $D$ — прямая $CD$.