Решение: Равенство отрезков параллелограмма
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.
Решение по шагам
5 шаговВ параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.
Рассмотрим центральную симметрию с центром $O$. При этой симметрии точка $B$ переходит в точку $D$, так как $O$ — середина отрезка $BD$.
Сторона $AB$ переходит в параллельную и равную ей сторону $CD$. Прямая, проходящая через центр симметрии $O$, переходит сама в себя.
Точка $P$ принадлежит одновременно сторонам $AB$ и проведённой через $O$ прямой. После симметрии она переходит в точку, принадлежащую стороне $CD$ и той же прямой. Единственная такая точка — $Q$. Значит, $P$ переходит в $Q$.
При центральной симметрии отрезок $BP$ переходит в отрезок $DQ$, причём длины отрезков сохраняются. Следовательно, $BP = DQ$.
Так как $O$ — центр симметрии параллелограмма, точки $B$ и $P$ переходят соответственно в точки $D$ и $Q$. Поэтому отрезок $BP$ переходит в отрезок $DQ$, а значит, $BP = DQ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что точка $O$ является центром симметрии любой трапеции, а не только параллелограмма.
Не обосновать, что точка $P$ при симметрии переходит именно в точку $Q$.
Сослаться на равенство сторон параллелограмма, не объяснив связь между отрезками $BP$ и $DQ$.