Решение: Подобие треугольников с высотами
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны.
Решение по шагам
5 шаговТак как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, то $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, углы $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ прямые.
$$\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$$Четырёхугольник $AA_1BB_1$ вписан в окружность, так как сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Поскольку точки $A_1,C,B$ лежат на одной прямой, а точки $B_1,C,A$ лежат на одной прямой, угол $\angle A_1CB_1$ равен углу $\angle ACB$.
$$\angle A_1CB_1 = \angle ACB$$В вписанном четырёхугольнике $AA_1BB_1$ углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $AB_1$, равны. С учётом коллинеарности точек $A_1,C,B$ и $B_1,C,A$ получаем $\angle CA_1B_1 = \angle CAB$.
$$\angle CA_1B_1 = \angle CAB$$Таким образом, у треугольников $A_1CB_1$ и $ACB$ равны два соответствующих угла. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
Так как $\angle A_1CB_1 = \angle ACB$ и $\angle CA_1B_1 = \angle CAB$, то $\triangle A_1CB_1 \sim \triangle ACB$ по двум углам.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указать, почему четырёхугольник $AA_1BB_1$ является вписанным.
Перепутать соответствующие углы при доказательстве подобия.
Сослаться только на перпендикулярность высот, не выполнив угловой переход.