Решение: Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что $L$ — середина $AB$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $DL$ — биссектриса угла $D$, точка $L$ равноудалена от прямых $DA$ и $DC$.
Поскольку $AB \parallel CD$ и точка $L$ лежит на $AB$, расстояние от $L$ до прямой $DC$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Обозначим это расстояние через $h$.
Расстояние от точки $L$ до прямой $AD$ равно $h$. Рассмотрим треугольники, имеющие общей высотой расстояние между прямыми $AB$ и $CD$. Из отношения площадей или из формулы расстояния до прямой получаем $\dfrac{AL}{AD}=1$, поэтому $AL=AD$.
Так как $CL$ — биссектриса угла $C$, точка $L$ равноудалена от прямых $CB$ и $CD$. Аналогично получаем $BL=BC$.
В параллелограмме противоположные стороны равны: $AD=BC$. Следовательно, $AL=AD=BC=BL$.
Точка $L$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB=AL+LB=2AL$. Следовательно, $AL=LB$, то есть $L$ — середина отрезка $AB$.
Так как $DL$ и $CL$ — биссектрисы, а $AB \parallel CD$, получаем $AL=AD$ и $BL=BC$. В параллелограмме $AD=BC$, значит $AL=BL$. Следовательно, $L$ — середина $AB$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ссылаться только на равенство противоположных сторон параллелограмма, не доказывая связи между $AL$, $BL$ и сторонами.
Неверно применять свойство биссектрисы: точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.
Забывать, что $L$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB=AL+LB$.