Решение: Перпендикулярность хорд и центров
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.
Решение по шагам
4 шагаТочки $K$ и $L$ принадлежат окружности с центром $P$, поэтому отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности.
$$PK = PL$$Точки $K$ и $L$ также принадлежат окружности с центром $Q$, поэтому отрезки $QK$ и $QL$ являются радиусами этой окружности.
$$QK = QL$$Следовательно, точки $P$ и $Q$ равноудалены от концов отрезка $KL$. Поэтому обе они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$.
Через две различные точки проходит единственная прямая, значит, прямая $PQ$ совпадает с серединным перпендикуляром к $KL$. По определению серединного перпендикуляра она перпендикулярна прямой $KL$.
Так как $PK = PL$ и $QK = QL$, точки $P$ и $Q$ лежат на серединном перпендикуляре к $KL$. Следовательно, $PQ \perp KL$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают, что равные отрезки являются радиусами соответствующих окружностей.
Делают вывод о перпендикулярности без использования свойства серединного перпендикуляра.
Путают серединный перпендикуляр к $KL$ с медианой или высотой.