Решение: Равенство углов в треугольнике
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.
Решение по шагам
4 шагаТак как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точка $A_1$ лежит на $BC$, получаем прямой угол $\angle AA_1C = 90^\circ$.
$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C = 90^\circ$$Так как $CC_1$ — высота, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, получаем $\angle AC_1C = 90^\circ$.
$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C = 90^\circ$$Сумма противоположных углов четырёхугольника $AA_1C_1C$ равна $180^\circ$, поэтому этот четырёхугольник вписан в окружность. Её диаметр — $AC$.
$$\angle AA_1C + \angle AC_1C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$Вписанные углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ опираются на одну и ту же хорду $CA_1$. Следовательно, они равны.
$$\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$$Так как $\angle AA_1C = \angle AC_1C = 90^\circ$, точки $A$, $A_1$, $C_1$, $C$ лежат на одной окружности. Углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ опираются на одну хорду $CA_1$, следовательно, $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указывают, какие углы являются прямыми.
Ошибочно считают, что углы опираются на хорду $CC_1$ вместо хорды $CA_1$.
Не обосновывают, почему четырёхугольник $AA_1C_1C$ является вписанным.