Решение: Доказательство цикличности четырёхугольника
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $CAB$ является вписанным углом этой окружности, опирающимся на хорду $CB$.
По условию $\angle CDB = \angle CAB$. Следовательно, точка $D$ видит хорду $CB$ под тем же углом, что и точка $A$.
Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$. Поэтому равенство углов, опирающихся на отрезок $CB$, означает, что точка $D$ лежит на окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$.
Итак, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. Углы $BCA$ и $BDA$ являются вписанными углами этой окружности и опираются на одну и ту же хорду $BA$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны. Следовательно, $\angle BCA = \angle BDA$.
$\angle BCA = \angle BDA$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать выпуклость четырёхугольника при применении признака вписанных углов.
Утверждать цикличность точек без объяснения, почему равенство углов приводит к расположению точки $D$ на окружности.
Неверно указывать хорду, на которую опираются углы $BCA$ и $BDA$: это хорда $BA$.