Решение: Биссектриса угла параллелограмма
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $L$ — середина стороны $AB$. Докажите, что $DL$ — биссектриса угла $ADC$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DC}=\vec b$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $DC=AB$. По условию $AB=2AD$, следовательно, $|\vec b|=2|\vec a|$.
$$|\vec b|=2|\vec a|$$Так как $L$ — середина стороны $AB$, а $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b$, имеем $\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$.
$$\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$$Тогда по правилу сложения векторов $\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AL}=\vec a+\frac12\vec b$.
$$\overrightarrow{DL}=\vec a+\frac12\vec b$$С учётом равенства $|\vec b|=2|\vec a|$ получаем $\frac12\vec b=|\vec a|\frac{\vec b}{|\vec b|}$ и $\vec a=|\vec a|\frac{\vec a}{|\vec a|}$. Поэтому
$$\overrightarrow{DL}=|\vec a|\left(\frac{\vec a}{|\vec a|}+\frac{\vec b}{|\vec b|}\right)$$Сумма единичных векторов, направленных вдоль сторон угла, направлена по биссектрисе угла между ними. Значит, луч $DL$ является биссектрисой угла $ADC$.
Так как $\overrightarrow{DL}$ пропорционален сумме единичных векторов, направленных вдоль $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{DC}$, луч $DL$ является биссектрисой угла $ADC$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют свойство параллелограмма и считают, что $AB=AD$.
Забывают, что $L$ — середина $AB$, поэтому $AL=\frac12 AB$.
Пишут, что диагональ или произвольный отрезок автоматически является биссектрисой угла.
Не обосновывают, почему полученное направление соответствует биссектрисе угла.