Решение: Площадь треугольника в трапеции
Точка $E$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим основания трапеции $AD=a$ и $BC=b$, а её высоту — $h$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(a,0)$, $B=(u,h)$, $C=(u+b,h)$, где число $u$ характеризует наклон боковых сторон.
$$AD\parallel BC$$Так как $E$ — середина отрезка $AB$, её координаты равны средним арифметическим координат точек $A$ и $B$.
$$E=\left(\dfrac{u}{2},\dfrac{h}{2}\right)$$Площадь треугольника $ECD$ найдём по определителю векторов $\overrightarrow{EC}$ и $\overrightarrow{ED}$.
$$S_{ECD}=\dfrac12\left|\det\begin{pmatrix}\dfrac{u}{2}+b & \dfrac{h}{2}\\ a-\dfrac{u}{2} & -\dfrac{h}{2}\end{pmatrix}\right|$$Вычисляя определитель, получаем выражение, не зависящее от $u$.
$$S_{ECD}=\dfrac12\cdot\dfrac{h(a+b)}{2}=\dfrac{h(a+b)}{4}$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
$$S_{ABCD}=\dfrac{(a+b)h}{2}$$Следовательно, площадь треугольника $ECD$ в два раза меньше площади трапеции.
$$S_{ECD}=\dfrac{h(a+b)}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{h(a+b)}{2}=\dfrac12S_{ABCD}$$Площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции $ABCD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать высотой треугольника $ECD$ половину высоты трапеции без обоснования.
Использовать формулу площади трапеции без указания её оснований.
Забыть множитель $\dfrac12$ в формуле площади треугольника.
Принять боковую сторону $CD$ за основание трапеции.