Решение: Площади треугольников в трапеции
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим высоту трапеции $ABCD$ через $h$. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и проходит на одинаковом расстоянии от них. Поэтому расстояния от точки $K$ до прямых $BC$ и $AD$ равны $\dfrac{h}{2}$.
$$d(K,BC)=d(K,AD)=\dfrac{h}{2}$$Основанием треугольника $BKC$ является $BC$, а его высота равна расстоянию от точки $K$ до прямой $BC$.
$$S_{BKC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{BC\cdot h}{4}$$Аналогично, основанием треугольника $AKD$ является $AD$, а его высота равна расстоянию от точки $K$ до прямой $AD$.
$$S_{AKD}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{AD\cdot h}{4}$$Сложим полученные площади.
$$S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{BC\cdot h}{4}+\dfrac{AD\cdot h}{4}=\dfrac{(AD+BC)h}{4}$$Площадь трапеции равна $\dfrac{(AD+BC)h}{2}$. Следовательно, полученная сумма равна половине площади трапеции.
$$S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(AD+BC)h}{2}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$$Так как $K$ находится на средней линии, расстояния от неё до оснований равны $\dfrac{h}{2}$. Поэтому $S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{(AD+BC)h}{4}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют в формулах площадей треугольников высоту всей трапеции $h$, а не $\dfrac{h}{2}$.
Забывают, что высота треугольника — это расстояние от вершины до прямой, содержащей его основание.
Неверно применяют формулу площади трапеции.