Решение: Равноудалённость от прямых
Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $CD$.
Решение по шагам
3 шагаТочка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$, то есть угла $BAD$. По свойству биссектрисы расстояния от точки $M$ до сторон этого угла равны:
$$\rho(M,AB)=\rho(M,AD)$$Точка $M$ также лежит на биссектрисе угла $D$, то есть угла $CDA$. Поэтому расстояния от точки $M$ до сторон этого угла равны:
$$\rho(M,AD)=\rho(M,CD)$$Из двух равенств следует, что расстояния от точки $M$ до всех трёх прямых одинаковы:
$$\rho(M,AB)=\rho(M,AD)=\rho(M,CD)$$Точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $CD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают, что точка $M$ лежит на обеих биссектрисах.
Путают стороны угла $D$: это прямые $AD$ и $CD$.
Доказывают равенство отрезков вместо расстояний от точки до прямых.