Решение: Равенство отрезков в параллелограмме
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.
Решение по шагам
4 шагаДиагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.
$$OA=OC,\quad OB=OD$$Рассмотрим поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, точка $C$ переходит в точку $A$. Аналогично, точка $B$ переходит в точку $D$.
При этом прямая, проходящая через центр поворота $O$, переходит сама в себя. Поэтому точка $L$, лежащая на этой прямой, переходит в точку пересечения этой прямой со стороной $AD$, то есть в точку $N$.
Центральная симметрия сохраняет расстояния. Отрезок $CL$ переходит в отрезок $AN$, следовательно, их длины равны.
Поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$ переводит $C$ в $A$, а $L$ в $N$, поэтому $CL=AN$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что точка $O$ является серединой отрезков $CL$ или $AN$.
Не обосновать, почему точка $L$ при центральной симметрии переходит именно в точку $N$.
Сослаться только на параллельность сторон без доказательства равенства отрезков.