Решение: Равенство углов при высотах
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $\angle ABC=\beta$. Поскольку $CC_1$ является высотой, то $CC_1\perp AB$.
$$CC_1 \perp AB$$Угол между прямыми $BC$ и $AB$ равен $\beta$, поэтому угол между прямыми $BC$ и перпендикулярной к $AB$ прямой $CC_1$ равен дополнению угла $\beta$ до $90^\circ$.
$$\angle BCC_1=90^\circ-\beta$$Рассмотрим треугольник $BB_1C_1$. Так как $BB_1\perp AC$, угол между $BB_1$ и прямой $B_1C_1$ является дополнением до $90^\circ$ угла между $AC$ и $B_1C_1$.
Из прямоугольных треугольников $ABB_1$ и $ACC_1$, а также из того, что $B_1\in AC$ и $C_1\in AB$, следует, что угол между $AC$ и $B_1C_1$ равен углу $ABC=\beta$. Поэтому
$$\angle BB_1C_1=90^\circ-\beta$$Оба рассматриваемых угла равны одному и тому же выражению, следовательно, они равны.
$$\angle BB_1C_1=90^\circ-\beta=\angle BCC_1$$Поскольку оба угла равны $90^\circ-\angle ABC$, то $\angle BB_1C_1=\angle BCC_1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют тот факт, что угол между прямыми и угол между перпендикулярными им прямыми равны.
Забывают, что высоты перпендикулярны соответствующим сторонам.
Не обосновывают, почему искомые углы выражаются через дополнение до $90^\circ$.