Диаметры окружностей и общая касательная
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте точки касания внутренней общей касательной с окружностями и точку её пересечения с отрезком $PQ$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной. Рассмотрите два получившихся прямоугольных треугольника.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Треугольники подобны по двум углам, поэтому отношение радиусов равно отношению частей отрезка $PQ$: $\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{PX}{XQ}=\dfrac{a}{b}$. Диаметры пропорциональны радиусам.