Подобие треугольников у окружности
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие углы треугольников являются вертикальными из-за пересечения прямых $AB$ и $CD$ в точке $M$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте свойство вписанного четырёхугольника: его противоположные углы в сумме дают $180^\circ$. Учтите, что $MB$ и $MA$ лежат на одной прямой, а $MC$ и $MD$ — на другой.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Углы $\angle BMC$ и $\angle DMA$ вертикальные и равны. Кроме того, внешние углы $\angle MBC$ и $\angle MDA$ равны, поскольку они дополняют до $180^\circ$ противоположные углы вписанного четырёхугольника $ABCD$.