Решение: Равенство площадей треугольников
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$. Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим треугольники $APD$ и $CPB$. Углы $APD$ и $CPB$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADP$ и $CBP$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DB$.
$$\angle APD=\angle CPB,\quad \angle ADP=\angle CBP$$Следовательно, треугольники $APD$ и $CPB$ подобны по двум углам.
$$\triangle APD\sim\triangle CPB$$Из подобия соответствующих сторон получаем соотношение между отрезками диагоналей.
$$\frac{AP}{CP}=\frac{DP}{BP}$$Площади треугольников $APB$ и $CPD$ вычисляются по двум сторонам и углу между ними. Углы $APB$ и $CPD$ вертикальные, поэтому их синусы равны.
$$S_{APB}=\frac12 AP\cdot BP\cdot\sin\angle APB,\quad S_{CPD}=\frac12 CP\cdot DP\cdot\sin\angle CPD$$Из полученного соотношения $\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{DP}{BP}$ следует $AP\cdot BP=CP\cdot DP$. Поэтому формулы площадей имеют одинаковые значения.
$$\frac{S_{APB}}{S_{CPD}}=\frac{AP\cdot BP\cdot\sin\angle APB}{CP\cdot DP\cdot\sin\angle CPD}=1$$Таким образом, $S_{APB}=S_{CPD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указать соответствующие стороны в подобных треугольниках.
Забыть обосновать равенство углов $APB$ и $CPD$ как вертикальных.
Использовать формулу площади без учета угла между сторонами.