Решение: Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ — середина $AD$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $BM$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABM=\angle MBC$. Поскольку $AD\parallel BC$, а точки $A$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, получаем $\angle MBC=\angle AMB$.
$$\angle ABM=\angle AMB$$В треугольнике $ABM$ равны углы при вершинах $B$ и $M$, поэтому он равнобедренный.
$$AM=AB$$Так как $CM$ — биссектриса угла $BCD$, то $\angle BCM=\angle MCD$. С учётом параллельности $AD\parallel BC$ получаем $\angle CMD=\angle BCM$, следовательно, $\angle CMD=\angle MCD$.
$$\angle CMD=\angle MCD$$Треугольник $DMC$ равнобедренный, поэтому $DM=DC$. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=DC$.
$$DM=DC=AB=AM$$Отрезки $AM$ и $DM$ равны, а точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Следовательно, $M$ — середина $AD$.
Так как $AM=AB$, $DM=DC$, а в параллелограмме $AB=DC$, то $AM=DM$. Поскольку $M\in AD$, точка $M$ является серединой отрезка $AD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают равенство углов, используя параллельность сторон параллелограмма.
Путают биссектрисы углов $B$ и $C$ с медианами.
Делают вывод, что $M$ — середина $AD$, не доказав равенство $AM$ и $DM$.