Середина стороны параллелограмма
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны направления биссектрис углов $A$ и $B$ с направлениями сторон параллелограмма?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Обозначьте единичные векторы вдоль $AB$ и $AD$ через $\vec e$ и $\vec u$. Направления биссектрис имеют вид $\vec e+\vec u$ и $-\vec e+\vec u$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $AB=a$, то из равенства двух представлений точки $N$ следует $N=\dfrac a2(\vec e+\vec u)$. С другой стороны, так как $N\in CD$, точка $N$ имеет вид $N=AD+t\,AB$. Сравните коэффициенты при $\vec e$.