Решение: Равноудалённость от прямых
Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD.
Решение по шагам
3 шагаТочка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырёхугольника $ABCD$. Поэтому по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $BC$.
$$\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC)$$Точка $O$ также лежит на биссектрисе угла $C$. Следовательно, она равноудалена от сторон угла $C$ — прямых $BC$ и $CD$.
$$\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)$$Из двух равенств следует, что расстояния от точки $O$ до всех трёх прямых равны.
$$\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)$$Так как точка $O$ лежит на биссектрисах углов $B$ и $C$, то $\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC)$ и $\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)$. Следовательно, $\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)$, что и требовалось доказать.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают, что точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Сравнивают расстояния до отрезков вместо расстояний до прямых.
Делают вывод только для двух прямых и не устанавливают равенство с расстоянием до третьей прямой.