Постройте график функции $y = 2 - \dfrac{x - 5}{x^2 - 5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь, учитывая ограничения на $x$:$$x^2 - 5x = x(x-5),\quad y = 2 - \frac{x-5}{x(x-5)} = 2 - \frac{1}{x},\quad x \ne 0,\ x \ne 5$$
- 2
График функции $y = 2 - \dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x = 0$ и $y = 2$. Из-за ограничения $x \ne 5$ на графике отсутствует точка с абсциссой $5$.$$y(5) = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модули в зависимости от знака $x$. При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому функция принимает вид$$y=x^2-x-6x=x^2-7x$$
- 2
При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому$$y=-x^2+x+6x=-x^2-5x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}25x^2+0{,}5x)\cdot |x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Разложим числитель на множители и укажем область определения исходной функции:$$0{,}25x^2+0{,}5x=0{,}25x(x+2),\qquad x\ne -2$$
- 2
При $x\ne -2$ сократим общий множитель $x+2$:$$y=\dfrac{0{,}25x(x+2)|x|}{x+2}=\dfrac{x|x|}{4}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
224ФИПИ D28F33№ 22Күрделі Постройте график функции $y = \left|x^2 - x - 2\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - x - 2$. Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули.$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),\quad x=-1,\ x=2$$
- 2
Парабола $y=x^2-x-2$ направлена ветвями вверх и расположена ниже оси абсцисс на промежутке $(-1;2)$. Поэтому при построении графика функции с модулем часть параболы ниже оси абсцисс отражается симметрично относительно оси абсцисс.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+x)\cdot|x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения функции задаётся условием $x+2\ne0$, то есть $x\ne-2$.
- 2
Разложим числитель на множители:$$0{,}5x^2+x=\frac{x(x+2)}{2}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}\right|+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну…
- 1
Область определения функции: $x\ne 0$. Применим тождество для модуля:$$\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$
- 2
Следовательно, исходная функция имеет вид:$$y=\max\left(\frac{x}{4},\frac{4}{x}\right)$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|+|x|-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=x(-x)-x-6x=-x^2-7x$$
- 2
При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:$$y=x^2+x-6x=x^2-5x$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{3x+5}{3x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Разложим знаменатель на множители:$$3x^2+5x=x(3x+5)$$
- 2
Область определения исходной функции задаётся условиями $x \ne 0$ и $3x+5 \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $x \ne -\dfrac{5}{3}$.$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{5}{3}\right\}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+6, & x\ge 2,\\ x-3, & x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2-6x+6=(x-3)^2-3,\quad x\ge 2$$
- 2
Парабола имеет вершину $(3,-3)$ и начинается с закрашенной точки $(2,-2)$. Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид:$$(x-3)^2-3=m,\quad x=3\pm\sqrt{m+3}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{6x+7}{6x^2+7x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Разложим знаменатель на множители:$$6x^2+7x=x(6x+7)$$
- 2
Учитывая ограничения исходной функции, получаем область определения $x\ne 0$ и $x\ne -\dfrac{7}{6}$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{7}{6}\right\}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{7x - 10}{7x^2 - 10x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Разложим знаменатель на множители:$$7x^2 - 10x = x(7x - 10)$$
- 2
При $x \ne 0$ и $x \ne \dfrac{10}{7}$ сократим общий множитель $7x - 10$:$$y = \dfrac{7x - 10}{x(7x - 10)} = \dfrac{1}{x}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Знаменатель обращается в ноль при $x=2$, поэтому $x=2$ не кіреді в область определения.$$2-x\ne 0\Rightarrow x\ne 2$$
- 2
Для всех допустимых значений $x$ сократим множитель $x-2$, используя равенство $2-x=-(x-2)$.$$y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}=-(x^2+1)=-x^2-1,\quad x\ne 2$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}\right|+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну…
- 1
Область определения функции: $x\ne0$.
- 2
Обозначим $a=\dfrac{x}{6}$ и $b=\dfrac{6}{x}$. Тогда функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}$, то есть равна большему из чисел $a$ и $b$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 9, & x \ge 2, \\ -x, & x < 2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
При $x \ge 2$ имеем $y = -x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2$. Это часть параболы, направленной ветвями вниз, с вершиной $(3; 0)$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -1)$, которая принадлежит графику.$$y = -(x - 3)^2, \quad x \ge 2$$
- 2
При $x < 2$ график задаётся лучом $y = -x$. Точка $(2; -2)$ не входит в график, поэтому на рисунке она отмечается выколотой.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=3-\dfrac{x+5}{x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Найдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2+5x=x(x+5)\ne0$$
- 2
Следовательно, $x\ne0$ и $x\ne-5$. Сократим общий множитель $x+5$ при этих ограничениях:$$y=3-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=3-\dfrac1x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2-4x-1, & x\geq -3,\\-x-3, & x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$-x^2-4x-1=-(x+2)^2+3$$
- 2
Вершина параболы находится в точке $(-2;3)$. На границе области $x=-3$ значение первой части равно $2$, поэтому точка $(-3;2)$ принадлежит графику. Парабола рассматривается только при $x\geq -3$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x - 2, & x < 3, \\ -3x + 13, & 3 \le x \le 4, \\ 1{,}5x - 7, & x > 4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком…
- 1
Для первого участка $y=2x-2$ при $x<3$: при $x\to3-0$ значение $y\to4$, но точка с координатами $(3;4)$ для этого участка не входит в график. Область значений первого участка — $(-\infty,4)$.$$y=2x-2,\quad x<3$$
- 2
Для второго участка $y=-3x+13$ при $3\le x\le4$: $y(3)=4$, $y(4)=1$. Область значений — $[1,4]$.$$y=-3x+13,\quad 3\le x\le4$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{9x+1}{9x^2+x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Найдём область определения функции. Знаменатель равен нулю при $x=0$ или $9x+1=0$, то есть при $x=-\dfrac{1}{9}$.$$9x^2+x=x(9x+1)$$
- 2
При допустимых значениях $x$ сократим общий множитель $9x+1$:$$y=\dfrac{9x+1}{x(9x+1)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,-\dfrac{1}{9}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x-1)-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-2x, & x<0,\\ x^2-4x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$
- 2
Левая часть графика является ветвью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;1)$, а точка соединения ветвей — $(0;0)$.$$y=-x^2-2x=-(x+1)^2+1$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne -1$. При допустимых значениях $x$ преобразуем функцию:$$y=\frac{(x^2+0{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+0{,}25)=-x^2-0{,}25$$
- 2
График — парабола $y=-x^2-0{,}25$ с вершиной в точке $(0;-0{,}25)$. Точка параболы с абсциссой $-1$ имеет координаты $(-1;-1{,}25)$ и должна быть выколота.$$(-1)^2+0{,}25=1{,}25$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде