Решение: График с выколотой точкой
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговЗнаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne -1$. При допустимых значениях $x$ преобразуем функцию:
$$y=\frac{(x^2+0{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+0{,}25)=-x^2-0{,}25$$График — парабола $y=-x^2-0{,}25$ с вершиной в точке $(0;-0{,}25)$. Точка параболы с абсциссой $-1$ имеет координаты $(-1;-1{,}25)$ и должна быть выколота.
$$(-1)^2+0{,}25=1{,}25$$Точки пересечения с прямой $y=kx$ находятся из уравнения:
$$-x^2-0{,}25=kx\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+kx+0{,}25=0$$Квадратное уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю:
$$D=k^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad k=1\ или\ k=-1$$При $k=1$ корень равен $x=-0{,}5$, а при $k=-1$ корень равен $x=0{,}5$. Оба корня допустимы.
Нужно также проверить случай, когда один из двух корней исключается из-за условия $x\ne -1$. Подставим $x=-1$ в уравнение пересечения:
$$1-k+0{,}25=0\quad\Longrightarrow\quad k=1{,}25=\frac54$$При $k=\frac54$ второй корень равен $0{,}25$, поэтому остаётся ровно одна общая точка с графиком.
График — парабола $y=-x^2-0{,}25$ с выколотой точкой $(-1;-1{,}25)$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k=-1$, $k=1$ или $k=\frac54$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne -1$ и изображают полную параболу.
Находят только случаи $D=0$ и пропускают значение $k=\frac54$.
Считают выколотую точку общей точкой графика.