Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{3x+5}{3x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$3x^2+5x=x(3x+5)$$Область определения исходной функции задаётся условиями $x \ne 0$ и $3x+5 \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $x \ne -\dfrac{5}{3}$.
$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{5}{3}\right\}$$При допустимых значениях $x$ дробь сокращается:
$$y=\dfrac{3x+5}{x(3x+5)}=\dfrac{1}{x}$$Следовательно, график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка с абсциссой $x=-\dfrac{5}{3}$.
$$y=\dfrac{1}{-5/3}=-\dfrac{3}{5}$$Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций:
$$kx=\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k<0$ решений нет, при $k=0$ решений также нет. При $k>0$ обычно существуют две точки пересечения. Ровно одна точка получится, если одна из них будет удалённой точкой графика.
$$k\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2=1\quad\Longrightarrow\quad k\cdot\dfrac{25}{9}=1$$Отсюда находим значение параметра:
$$k=\dfrac{9}{25}$$При $k=\dfrac{9}{25}$ уравнение даёт $x=\pm\dfrac{5}{3}$. Точка с $x=-\dfrac{5}{3}$ удалена, а точка с $x=\dfrac{5}{3}$ принадлежит графику, поэтому общая точка ровно одна.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимтотами $x=0$ и $y=0$, с выколотой точкой $\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{3}{5}\right)$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k=\dfrac{9}{25}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $x \ne 0$ и $x \ne -\dfrac{5}{3}$ после сокращения дроби.
Считают, что при любом $k>0$ прямая имеет ровно одну общую точку.
Забывают проверить, не является ли одна из точек пересечения выколотой.
Указывают график $y=\dfrac{1}{x}$ без удаления точки $\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{3}{5}\right)$.