Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = 2 - \dfrac{x - 5}{x^2 - 5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
4 шагаРазложим знаменатель на множители и сократим дробь, учитывая ограничения на $x$:
$$x^2 - 5x = x(x-5),\quad y = 2 - \frac{x-5}{x(x-5)} = 2 - \frac{1}{x},\quad x \ne 0,\ x \ne 5$$График функции $y = 2 - \dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x = 0$ и $y = 2$. Из-за ограничения $x \ne 5$ на графике отсутствует точка с абсциссой $5$.
$$y(5) = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$$Найдём точки пересечения с прямой $y = m$. При $m \ne 2$ уравнение имеет решение:
$$m = 2 - \frac{1}{x}\quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{2-m}$$При $m = 2$ уравнение не имеет решений, поэтому прямая $y = 2$ не пересекает график. Если $x = 5$, точка выколота. Определим соответствующее значение параметра:
$$5 = \frac{1}{2-m}\quad \Longrightarrow \quad 2-m = \frac{1}{5}\quad \Longrightarrow \quad m = \frac{9}{5}$$Прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 2$ или $m = \frac{9}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать исключённое значение $x = 5$ после сокращения дроби.
Считать, что при $m = \frac{9}{5}$ есть точка пересечения с графиком.
Указать только значение $m = 2$ и не заметить выколотую точку.