Бейінді математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Найдём область допустимых значений. Необходимо, чтобы $x>0$ и $4x^2-1>0$. Кроме того, выражение $5x+\dfrac{9}{x}-11$ должно быть положительным.$$x>0,\quad 4x^2-1>0,\quad 5x+\dfrac{9}{x}-11>0$$

Из первых двух условий получаем $x>\dfrac{1}{2}$. При $x>0$ последнее выражение положительно, поскольку его числитель $5x^2-11x+9$ имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент.$$D=(-11)^2-4\cdot5\cdot9=-59<0$$

Выпишем область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $x+4>0$. Основание второго логарифма должно быть положительным и не равно единице: $x^2+8x+16=(x+4)^2>0$, $(x+4)^2\neq 1$. Поэтому $x>-4$ и…

Сделаем замену $t=x+4$. Тогда $t>0$, $t\neq 1$, а $x^2+8x+16=t^2$.

Так как логарифм определён при $x>0$, а знаменатель не должен обращаться в ноль, получаем область допустимых значений:$$x>0,\quad \log_2^2 x-36\neq 0,\quad \log_2 x\neq \pm 6$$

Выполним замену $t=\log_2 x$. Тогда $\log_2(4x^2)=\log_2 4+2\log_2 x=2+2t$.$$t=\log_2 x,\quad \log_2(4x^2)=2+2t$$

Область допустимых значений определяется условиями $x>0$, $\log_3 x-4\neq0$, $\log_3(81x)\neq0$ и $\log_3^2x-16\neq0$. Поэтому $x>0$, $\log_3x\neq4$, $\log_3x\neq-4$.

Введём замену $t=\log_3x$. Тогда $\log_3(81x)=\log_3(3^4x)=t+4$, а $\log_3x^8=8t$.

Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:$$x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0,\qquad \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0$$

Оба условия выполняются при $x<6$ или $x>7$.$$x\in(-\infty,6)\cup(7,+\infty)$$

Найдём область допустимых значений логарифма:$$4-x^2>0\quad\Longrightarrow\quad -2<x<2$$

На ОДЗ применим свойство степени и логарифма:$$3^{\log_3(4-x^2)}=4-x^2$$

Разложим числитель на множители, учитывая, что $10^x=2^x\cdot5^x$:$$10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50=(5^x-25)(2^x-2)$$

Найдём область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Имеем $5^1-1^2-4=0$, поэтому $x=1$ является корнем знаменателя.

Определим область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными. Условия $2-x>0$, $4-x>0$ и $x^2-5x+6>0$ дают $x<2$.$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0$$

Поскольку основание логарифмов $3>1$, объединим логарифмы в правой части и сравним аргументы.$$(2-x)(x^2+5)\geq(x^2-5x+6)(4-x)$$

Преобразуем числитель, выразив все степени через $3^x$:$$27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27=(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27$$

Полученное выражение является кубом разности:$$(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27=(3^x-3)^3$$

Найдём область допустимых значений. Выражения $2x^2+12$ и $x^2-x+12$ положительны при всех $x$, так как их дискриминанты отрицательны. Для третьего логарифма требуется $2-\dfrac{1}{x}>0$.$$2-\dfrac{1}{x}>0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$$

Так как основание логарифмов $7>1$, преобразуем неравенство, объединив разность логарифмов.$$\dfrac{2x^2+12}{x^2-x+12}\geq 2-\dfrac{1}{x}$$

Введём замену $t=8^x$. Тогда $t>0$, а $64^x=(8^x)^2=t^2$.$$t=8^x>0,\qquad 64^x=t^2$$

Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль.$$2t^2-32\neq0\quad\Longrightarrow\quad t\neq4$$

Найдём область допустимых значений. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:$$\dfrac{2}{x}+2>0,\quad x+3>0,\quad \dfrac{x+6}{x^2}>0$$

Из этих условий получаем:$$x\in(-3,-1)\cup(0,+\infty)$$

Область допустимых значений определяется условием $3^x - 84 \ne 0$, то есть $3^x \ne 84$.

Выполним замену $t = 3^x$. Так как показательная функция положительна, $t > 0$. Неравенство принимает вид:$$t + \dfrac{243}{t - 84} \le 0$$

Обозначим первоначальный размер кредита через $x$ млн рублей. В конце каждого из первых трёх годов долг увеличивается до $1{,}1x$, после чего выплачиваются проценты в размере $0{,}1x$, поэтому долг снова становится равным $x$.$$P_1=P_2=P_3=0{,}1x$$

Пусть одинаковая выплата в конце четвёртого и пятого годов равна $y$ млн рублей. После увеличения долга в начале четвёртого года он составляет $1{,}1x$. После выплаты $y$ долг равен $1{,}1x-y$.

Пусть первоначальный размер кредита равен $x$ млн рублей. В конце каждого из первых трёх годов заёмщик выплачивает только проценты, то есть по $0{,}2x$ млн рублей.$$S_1=3\cdot 0{,}2x=0{,}6x$$

В начале четвёртого года долг равен $x$, а в середине года он возрастает до $1{,}2x$. Обозначим одинаковую выплату в конце четвёртого и пятого годов через $A$ млн рублей. После четвёртой выплаты долг равен $1{,}2x-A$.

Пусть $a$ и $b$ — количество товаров, произведённых на первом и втором заводах соответственно. Тогда для их производства потребуется $a^2$ и $b^2$ часов работы.

Ограничение по оплате труда имеет вид:$$200a^2+300b^2\le 1\,200\,000$$

Пусть первоначальный вклад равен $x$ млн рублей. После первого и второго годов вклад составит:$$x\cdot1{,}1^2=1{,}21x$$

В начале третьего года вклад пополняется на 3 млн рублей, после чего увеличивается на 10%. Поэтому после третьего года он составит:$$1{,}1(1{,}21x+3)=1{,}331x+3{,}3$$

В июле 2017 года после начисления процентов долг становится равен $1{,}15S$. Поэтому первая выплата составляет:$$P_1=1{,}15S-0{,}8S=0{,}35S$$

К июлю 2018 года долг, равный $0{,}8S$, увеличивается на $15\%$. Вторая выплата равна:$$P_2=1{,}15\cdot 0{,}8S-0{,}5S=0{,}92S-0{,}5S=0{,}42S$$

Пусть $q=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга за год, а $d$ — постоянная величина, на которую уменьшается долг с начала июля одного года до начала июля следующего года. Изначальный долг равен $B_0=7$ млн рублей.$$q=1+\dfrac{r}{100}$$

После первого года долг равен $B_1=7q-d$, после второго — $B_2=7q^2-d(q+1)$, и после он лет:$$B_{10}=7q^{10}-d(1+q+q^2+\dots+q^9)$$

Обозначим через $n$ число учащихся в классе, а через $g$ — число девочек. Тогда $11 \leq n \leq 26$, а условие на долю девочек имеет вид $\dfrac{g}{n} \leq 0{,}21$.

а) Проверим возможность наличия 5 девочек. Неравенство $\dfrac{5}{n} \leq 0{,}21$ выполняется при $n \geq \dfrac{5}{0{,}21} \approx 23{,}81$. Например, при $n=24$ доля девочек равна $\dfrac{5}{24} \approx 20{,}83\%$, что не превышает 21…