Решение: Проценты девочек в классе
В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %.
а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $n$ число учащихся в классе, а через $g$ — число девочек. Тогда $11 \leq n \leq 26$, а условие на долю девочек имеет вид $\dfrac{g}{n} \leq 0{,}21$.
а) Проверим возможность наличия 5 девочек. Неравенство $\dfrac{5}{n} \leq 0{,}21$ выполняется при $n \geq \dfrac{5}{0{,}21} \approx 23{,}81$. Например, при $n=24$ доля девочек равна $\dfrac{5}{24} \approx 20{,}83\%$, что не превышает 21 %. Следовательно, 5 девочек в классе быть может.
б) Если после прихода новой девочки доля станет 30 %, то $\dfrac{g+1}{n+1}=0{,}3$, или $10(g+1)=3(n+1)$. При $11 \leq n \leq 26$ число $n+1$ должно быть кратно 10, поэтому $n=19$, а $g+1=6$, то есть $g=5$. Но исходная доля тогда равна $\dfrac{5}{19}\approx26{,}32\%$, что больше 21 %. Следовательно, такая ситуация невозможна.
в) После прихода новой девочки число учащихся равно $n+1$, а число девочек — $g+1$. Проверяем допустимые значения $n$ от 11 до 26 и требуем, чтобы $\dfrac{100(g+1)}{n+1}$ было целым числом. Например, при $n=11$ и $g=2$ исходная доля равна $\dfrac{2}{11}\approx18{,}18\%$, а после прихода девочки доля равна $\dfrac{3}{12}=25\%$. Также 25 % получается при $n=15$, $g=3$: $\dfrac{4}{16}=25\%$.
При остальных допустимых значениях общее число процентов не превышает 25 %. Поэтому наибольшая возможная доля после прихода новой девочки равна 25 %.
а) Да, например при 24 учащихся. б) Нет. в) 25 %.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют ограничение 21 % только после прихода новой девочки, а не для исходного класса.
Забывают, что после прихода новой девочки увеличиваются и общее число учащихся, и число девочек.
Считают достаточным получить приблизительно целое число процентов вместо точного целого значения.