Решение: Максимальный размер кредита
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 6 млн рублей.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим первоначальный размер кредита через $x$ млн рублей. В конце каждого из первых трёх годов долг увеличивается до $1{,}1x$, после чего выплачиваются проценты в размере $0{,}1x$, поэтому долг снова становится равным $x$.
$$P_1=P_2=P_3=0{,}1x$$Пусть одинаковая выплата в конце четвёртого и пятого годов равна $y$ млн рублей. После увеличения долга в начале четвёртого года он составляет $1{,}1x$. После выплаты $y$ долг равен $1{,}1x-y$.
В начале пятого года оставшийся долг снова увеличивается на 10 %. Так как выплата $y$ в конце пятого года полностью погашает долг, получаем уравнение.
$$1{,}1(1{,}1x-y)=y$$Решим уравнение относительно $y$.
$$1{,}21x-1{,}1y=y;\quad 2{,}1y=1{,}21x;\quad y=\dfrac{1{,}21}{2{,}1}x=\dfrac{121}{210}x$$Общая сумма выплат состоит из процентов за первые три года и двух одинаковых выплат в конце четвёртого и пятого годов.
$$S=3\cdot0{,}1x+2\cdot\dfrac{121}{210}x=\dfrac{3}{10}x+\dfrac{121}{105}x=\dfrac{61}{42}x$$По условию общая сумма выплат меньше 6 млн рублей. Решаем неравенство.
$$\dfrac{61}{42}x<6;\quad x<\dfrac{252}{61}\approx4{,}13$$Так как размер кредита должен быть целым числом миллионов рублей, наибольшее подходящее значение — $x=4$.
4 млн рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что после выплаты процентов долг уменьшается ниже первоначального.
Не учитывать увеличение оставшегося долга на 10 % перед пятой выплатой.
Забыть условие, что размер кредита выражается целым числом миллионов рублей.
Включить в общую сумму выплат первоначальный размер кредита отдельно, хотя он погашается двумя последними платежами.