Решение: Льготный кредит и выплаты
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Решение по шагам
7 шаговПусть первоначальный размер кредита равен $x$ млн рублей. В конце каждого из первых трёх годов заёмщик выплачивает только проценты, то есть по $0{,}2x$ млн рублей.
$$S_1=3\cdot 0{,}2x=0{,}6x$$В начале четвёртого года долг равен $x$, а в середине года он возрастает до $1{,}2x$. Обозначим одинаковую выплату в конце четвёртого и пятого годов через $A$ млн рублей. После четвёртой выплаты долг равен $1{,}2x-A$.
К началу пятого года оставшийся долг возрастает на 20 %, поэтому условие полного погашения после пятой выплаты имеет вид:
$$1{,}2(1{,}2x-A)-A=0$$Решая уравнение, находим размер каждой из двух последних выплат:
$$1{,}44x-2{,}2A=0,\quad A=\frac{1{,}44}{2{,}2}x=\frac{36}{55}x$$Общая сумма выплат равна сумме выплат за первые три года и двух последних выплат:
$$S=0{,}6x+2\cdot\frac{36}{55}x=\frac{21}{11}x$$По условию общая сумма выплат меньше 7 млн рублей:
$$\frac{21}{11}x<7,\quad x<\frac{77}{21}=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$$Так как размер кредита должен быть целым числом миллионов рублей, наибольшее возможное значение равно 3.
Наибольший размер кредита — 3 млн рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 20 % перед выплатами в четвёртом и пятом годах.
Считать, что в первые три года погашается часть основного долга.
Забыть условие строгости: общая сумма выплат должна быть меньше 7 млн рублей, а не меньше или равна 7 млн рублей.
Не учесть, что размер кредита должен быть целым числом миллионов рублей.