Решение: Окупаемость строительства завода
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $(0{,}5x^2+2x+6)$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0{,}5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?
Решение по шагам
5 шаговВыразим прибыль фирмы в зависимости от объёма выпуска:
$$P(x)=px-(0{,}5x^2+2x+6)=-0{,}5x^2+(p-2)x-6$$Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при $x^2$, поэтому максимум достигается в вершине параболы:
$$x_0=-\frac{p-2}{2\cdot(-0{,}5)}=p-2$$Подставим оптимальный объём производства в функцию прибыли:
$$P_{\max}=-0{,}5(p-2)^2+(p-2)^2-6=0{,}5(p-2)^2-6$$Чтобы строительство стоимостью 78 млн рублей окупилось не более чем за 3 года, годовая прибыль должна быть не менее 26 млн рублей:
$$0{,}5(p-2)^2-6\geq 26$$Решим неравенство. Так как для производства в оптимальном объёме требуется $p\geq 2$, выбираем положительную ветвь:
$$(p-2)^2\geq 64,\quad p-2\geq 8,\quad p\geq 10$$Наименьшее значение $p$ равно $10$ тыс. рублей за единицу продукции.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают вычесть постоянные затраты 6 млн рублей из прибыли.
Используют прибыль за один год, не сравнив её с величиной $78:3=26$ млн рублей.
Неверно находят координату вершины параболы.
Выбирают отрицательную ветвь решения неравенства, хотя цена и оптимальный объём выпуска должны быть неотрицательными.