Решение: Кредит с равными уменьшениями долга
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее 0{,}819 млн рублей.
Решение по шагам
6 шаговПусть $q=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга за год, а $d$ — постоянная величина, на которую уменьшается долг с начала июля одного года до начала июля следующего года. Изначальный долг равен $B_0=7$ млн рублей.
$$q=1+\dfrac{r}{100}$$После первого года долг равен $B_1=7q-d$, после второго — $B_2=7q^2-d(q+1)$, и после десяти лет:
$$B_{10}=7q^{10}-d(1+q+q^2+\dots+q^9)$$К концу срока долг должен быть погашен, поэтому $B_{10}=0$. Отсюда:
$$d=\dfrac{7q^{10}}{1+q+q^2+\dots+q^9}=\dfrac{7q^{10}(q-1)}{q^{10}-1}$$В последнем году перед окончательным погашением долг после начисления процентов равен последнему платежу. Поэтому последний платёж также равен $d$. По условию:
$$\dfrac{7q^{10}(q-1)}{q^{10}-1}\ge 0{,}819$$Функция в левой части возрастает при $q>1$. Граничное значение находится численно из уравнения $\dfrac{7q^{10}(q-1)}{q^{10}-1}=0{,}819$ и равно примерно $q\approx1{,}0296$.
$$q\approx1{,}0296$$Следовательно, минимальная ставка равна:
$$r=100(q-1)\approx100\cdot0{,}0296=2{,}96\%$$Минимальная возможная ставка — примерно 2,96%.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что ежегодно уменьшается долг до начисления процентов, а не после выплат с февраля по июнь.
Принять последний платёж за величину долга в начале последнего года без учёта январского начисления процентов.
Использовать арифметическую, а не геометрическую прогрессию при вычислении суммы уменьшений долга.