ЕГЭОГЭ
РУҚА
ЕГЭ · математика, профиль · номер 14 · решения с ответами

Задание 14 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Все задачи задания 14 из открытого банка ФИПИ с готовым ответом и началом разбора. Полное решение по шагам и официальный ключ — по ссылкам в карточке.

Задания без решений
66
решений с ответами
2
тем в номере
4
страниц списка
01ФИПИ 0000C3№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение и его корни

Решите тригонометрическое уравнение и укажите его корни, принадлежащие заданному отрезку.

  1. 1
    В условии отсутствует само тригонометрическое уравнение.
  2. 2
    В условии также не указаны границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
02ФИПИ 015B20№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Решение тригонометрического уравнения

Решите уравнение и укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.

  1. 1
    В распознанном условии отсутствует формула уравнения.
  2. 2
    Также не указаны левая и правая границы отрезка, на котором требуется выбрать корни.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
03ФИПИ 0448F1№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение

а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

  1. 1
    Так как косинус является чётной функцией, $\cos(-x)=\cos x$. Преобразуем уравнение:$$\cos 2x + \cos x = 0$$
  2. 2
    Используем формулу двойного угла и обозначим $t=\cos x$:$$2\cos^2 x-1+\cos x=0;\quad 2t^2+t-1=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
04ФИПИ 0AD550№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

  1. 1
    Используем тождество для косинуса суммы:$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$$
  2. 2
    Применяем формулу двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^2x$:$$1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x-1=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
05ФИПИ 0BD320№ 14ВысокаяАлгебраические уравнения

Показательное уравнение и отрезок

Решите уравнение $27^x - 28 \cdot 3^{x+1} + 3^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{3};\log_2 5]$.

  1. 1
    Представим первое слагаемое и выполним замену переменной: $27^x = 3^{3x} = (3^x)^3$. Обозначим $t = 3^x$, тогда $t > 0$.$$t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0$$
  2. 2
    Умножим уравнение на $t$, поскольку $t > 0$.$$t^4 - 84t^2 + 243 = 0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
06ФИПИ 0C47ED№ 14ВысокаяТригонометрия

Уравнение с косинусом

а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.

  1. 1
    Представим степени через число $3$ и введём замену $t=3^{\cos x}$. Тогда $81^{\cos x}=t^4$, $9^{\cos x}=t^2$.$$9t^4-28t^2+3=0$$
  2. 2
    Обозначим $y=t^2$. Решаем квадратное уравнение относительно $y$.$$9y^2-28y+3=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому5 шагов в разборе
07ФИПИ 1CAE46№ 14ВысокаяТригонометрия

Степенно-тригонометрическое уравнение

Решите уравнение $16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}{4}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.

  1. 1
    Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, преобразуем вторую степень:$$16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac{1}{16^{\sin x}}$$
  2. 2
    Введём замену $t=16^{\sin x}$. Поскольку $t>0$, уравнение принимает вид:$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
08ФИПИ 1D3525№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Используем формулы для отрицательного аргумента и формулу двойного угла:$$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1$$
  2. 2
    Сгруппируем слагаемые и разложим выражение на множители:$$2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = (2\sin x+1)(\cos x-1)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе
09ФИПИ 209e7e№ 14ВысокаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с косинусом

Решите уравнение $2\cos x-2\sqrt{3}\cos(-x)-4\sin^2x=\sqrt{3}-4$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Так как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$, а $\sin^2x$ выразим через косинус:$$\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin^2x=1-\cos^2x$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt{3}-4$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе
10ФИПИ 2247B7№ 14ВысокаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с отбором корней

Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=3\cos x+1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Раскроем скобки и преобразуем двойной угол:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$\sin x+\sqrt3\cos x+2\cos^2x-1=3\cos x+1$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
11ФИПИ 24AAD1№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$.

  1. 1
    Преобразуем косинус суммы и косинус двойного угла:$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому5 шагов в разборе
12ФИПИ 2CCC19№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с корнями

Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin(2\pi-x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x$ и найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$.

  1. 1
    Применим формулы приведения и двойного угла:$$\sin(2\pi-x)=-\sin x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:$$2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
13ФИПИ 2D54B0№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем синус отрицательного аргумента и косинус двойного угла:$$\cos 2x-3\sin(-x)-2=1-2\sin^2x+3\sin x-2=0$$
  2. 2
    Получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:$$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе
14ФИПИ 30EEA9№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с отбором корней

Решите уравнение $2\sqrt{3}\sin^2\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Используем тождество $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.$$2\sqrt{3}\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$
  2. 2
    Вынесем общий множитель:$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе
15ФИПИ 34BB16№ 14ВысокаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с синусом

Решите уравнение $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем косинус двойного угла:$$\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x = 2\sin^2 x - 1$$
  2. 2
    Подставим это выражение в исходное уравнение и учтём, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:$$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому8 шагов в разборе
16ФИПИ 34CAC3№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $2\sin^2 x+\cos(-x)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.

  1. 1
    Так как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$:$$2\sin^2 x+\cos x-1=0$$
  2. 2
    Выразим квадрат синуса через косинус:$$2(1-\cos^2 x)+\cos x-1=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
17ФИПИ 350814№ 14ВысокаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с отбором корней

а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{17\pi}{2};\,10\pi\right]$.

  1. 1
    Преобразуем косинус суммы и косинус разности:$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}},\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$
  2. 2
    Подставляем формулы в исходное уравнение:$$4\cdot\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}(-\cos x)=2$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
18ФИПИ 3BB500№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение

Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Используем тождество $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.$$2\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$
  2. 2
    Вынесем общий множитель.$$2\cos x(\cos x+\sin x)=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому5 шагов в разборе
19ФИПИ 46249A№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(-x) - 3 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем синус отрицательного аргумента и выразим квадрат косинуса через синус:$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos^2x=1-\sin^2x$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому8 шагов в разборе
20ФИПИ 4EFD3D№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x + \pi) = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем синус суммы и синус двойного угла:$$\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x+\pi)=2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x$$
  2. 2
    Вынесем общий множитель:$$\sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе

Те же задачи без решений, с фильтрами по сложности и типу ответа, — список заданий. Другой предмет — в каталоге.