Тригонометрическое уравнение с отбором корней
Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=3\cos x+1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Раскройте $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ и выразите уравнение через $\sin x$ и $\cos x$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
После преобразований используйте замену $t=\tan\dfrac{x}{2}$: $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается уравнение $(3-\sqrt3)t^4+2t^3-8t^2+2t-(3-\sqrt3)=0$. Один корень равен $t=\sqrt3$, второй действительный корень приближённо равен $t\approx-3{,}524$. Затем вернитесь к переменной $x$ и выполните отбор на заданном отрезке.