Тригонометрическая окружность
Тригонометрическая окружность, или единичная окружность, помогает определять значения тригонометрических функций для любого угла. По координатам точки на окружности находят косинус и синус, а затем вычисляют тангенс и решают задачи на чтение углов и координат.
Единичная окружность и угол
Единичной называют окружность с центром в начале координат \(O(0;0)\) и радиусом \(1\). На координатной плоскости положительное направление отсчёта углов — против часовой стрелки. Начальная сторона угла совпадает с положительным направлением оси \(Ox\), а конечная сторона пересекает окружность в некоторой точке \(M(x;y)\).
Если конечная сторона угла пересекает единичную окружность в точке \(M(x;y)\), то косинус угла равен абсциссе этой точки, а синус угла — её ординате: \(\cos\alpha=x\), \(\sin\alpha=y\).
Угол можно задавать в градусах или радианах. Например, \(180^\circ=\pi\) радиан, \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\) радиан. При движении конечной стороны против часовой стрелки угол считается положительным, а при движении по часовой стрелке — отрицательным.
Для любого угла значения синуса и косинуса лежат в пределах от \(-1\) до \(1\): \(-1\le\sin\alpha\le1\) и \(-1\le\cos\alpha\le1\). Это следует из того, что координаты точки единичной окружности не могут по модулю превышать радиус \(1\).
Синус, косинус и тангенс на окружности
Координаты точки \(M\) сразу дают синус и косинус. Чтобы найти тангенс, используют отношение ординаты к абсциссе, если абсцисса не равна нулю. Подробное представление тангенса через эти функции рассматривается на странице тангенс через синус и косинус.
Тангенс угла — это отношение ординаты точки к её абсциссе: \(\tan\alpha=\frac{y}{x}\). Если \(x=0\), то тангенс не определён: делить на ноль нельзя.
Значения функций в четвертях определяются знаками координат. В первой четверти \(x>0\) и \(y>0\), во второй \(x<0\), \(y>0\), в третьей обе координаты отрицательны, а в четвёртой \(x>0\), \(y<0\). Поэтому знаки функций удобно проверять по таблице знаков тригонометрических функций.
| Четверть | Знак \(\cos\alpha\) | Знак \(\sin\alpha\) | Знак \(\tan\alpha\) |
|---|---|---|---|
| I | + | + | + |
| II | − | + | − |
| III | − | − | + |
| IV | + | − | − |
Косинус — координата по горизонтали, синус — координата по вертикали. Тангенс имеет знак отношения этих координат.
Для углов на осях одна из координат равна нулю. Например, при \(0^\circ\) точка имеет координаты \((1;0)\), поэтому \(\cos0^\circ=1\), \(\sin0^\circ=0\). При \(90^\circ\) точка имеет координаты \((0;1)\), поэтому \(\cos90^\circ=0\), а тангенс не существует. Полезные значения углов сверяйте с таблицей основных тригонометрических значений.
В какой четверти находится точка с координатами \(\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\)?
Как решать задачи по окружности
В задачах ЕГЭ часто требуется определить координаты точки, знак функции, значение функции или четверть, в которой лежит угол. Удобный алгоритм состоит из четырёх шагов.
- Определите, от какого положительного направления отсчитывается угол и в какую сторону он откладывается.
- Сведите угол к положению на окружности, если он больше \(360^\circ\) или задан отрицательным.
- Найдите четверть и установите знаки синуса и косинуса.
- Используйте координаты точки, таблицу основных значений или формулу \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
Если угол больше полного оборота, из него можно вычесть несколько полных оборотов: \(360^\circ\) или \(2\pi\) радиан. Например, углы \(30^\circ\), \(390^\circ\) и \(-330^\circ\) имеют одну и ту же конечную сторону.
Точка \(M\) на единичной окружности имеет координаты \(\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)\). Найдём \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) и \(\tan\alpha\), а также определим четверть.
Ответ: \(\cos\alpha=-\frac12\), \(\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\tan\alpha=-\sqrt3\), угол расположен во второй четверти. Обратите внимание: знак тангенса отрицательный, потому что синус положителен, а косинус отрицателен.
Связь с другими свойствами функций
Единичная окружность наглядно показывает, почему тригонометрические функции повторяют значения. После полного оборота конечная сторона возвращается в ту же точку, поэтому синус, косинус и тангенс имеют периоды тригонометрических функций. В частности, для синуса и косинуса повторение происходит через \(2\pi\), а для тангенса — через \(\pi\).
Симметрия окружности помогает сравнивать значения углов. Например, при замене угла на противоположный абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет знак. Это связано с чётностью функций и позволяет быстро получать значения без нового построения.
1. Путают координаты: \(\cos\alpha\) — это \(x\), а не \(y\). 2. Забывают знак во II, III и IV четвертях. 3. Считают, что тангенс существует при любом угле; при \(\cos\alpha=0\) он не определён. 4. При отрицательном угле откладывают его против часовой стрелки вместо движения по часовой. 5. Смешивают градусы и радианы: \(\pi\) — это не \(\pi^\circ\), а \(180^\circ\).
После нахождения координат проверьте равенство \(x^2+y^2=1\). Если оно не выполняется, допущена ошибка в знаке, значении или преобразовании.
Quick-test
Проверь себя
Главное
- Единичная окружность имеет центр \(O(0;0)\) и радиус \(1\).
- Если конечная точка угла — \(M(x;y)\), то \(\cos\alpha=x\), а \(\sin\alpha=y\).
- Тангенс вычисляют по формуле \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) при \(\cos\alpha\ne0\).
- Знаки функций определяются четвертью окружности; координаты всегда удовлетворяют \(x^2+y^2=1\).
- Для углов больше полного оборота или отрицательных углов сначала находят их конечную сторону.