Периоды тригонометрических функций
Период функции — это длина повторяющегося участка её графика. В этой теме разберём периоды синуса, косинуса, тангенса и выражений вида \(\sin(kx+b)\), а также научимся находить минимальный период сложной функции. Для понимания знаков и углов полезно сначала повторить тригонометрическую окружность.
Что такое период функции
Число \(T>0\) называется периодом функции \(f(x)\), если для всех допустимых \(x\) выполняется равенство \(f(x+T)=f(x)\). Это означает, что после сдвига аргумента на \(T\) значения функции полностью повторяются. Если функция имеет период \(T\), то периодами также будут \(2T\), \(3T\) и вообще \(nT\), где \(n\) — натуральное число.
Период — любое положительное число \(T\), для которого \(f(x+T)=f(x)\). Минимальный положительный период — наименьший такой период. В школьных задачах под словом «период» обычно понимают именно минимальный положительный период.
Если \(T\) — период функции, то любой сдвиг на целое число периодов не изменяет её значения: \(f(x+nT)=f(x)\), где \(n\in\mathbb Z\). Однако найденное число нужно проверить: оно должно быть положительным и действительно минимальным.
Периоды синуса, косинуса и тангенса
Основные периоды следуют из свойств тригонометрических функций. На тригонометрической окружности полный оборот равен \(2\pi\), поэтому синус и косинус повторяются через полный оборот. Тангенс выражается как отношение \(\sin x\) к \(\cos x\) и повторяется уже через половину оборота, то есть через \(\pi\).
| Функция | Минимальный положительный период |
|---|---|
| \(\sin x\) | \(2\pi\) |
| \(\cos x\) | \(2\pi\) |
| \(\tan x\) | \(\pi\) |
| \(\cot x\) | \(\pi\) |
Подробные свойства можно повторить на страницах период синуса, период косинуса и период тангенса. Например, у функции \(y=\sin x\) график повторяется через \(2\pi\), а у \(y=\tan x\) — через \(\pi\), несмотря на разрывы в точках \(x=\frac\pi2+\pi n\).
Для \(\sin x\) и \(\cos x\) базовый период равен \(2\pi\). Для \(\tan x\) и \(\cot x\) базовый период равен \(\pi\).
Множитель перед аргументом
Если аргумент функции умножен на ненулевое число \(k\), график сжимается или растягивается вдоль оси \(x\). Поэтому период изменяется в \(|k|\) раз. Чем больше \(|k|\), тем меньше период.
Свободный член \(b\) внутри аргумента не влияет на период: он только сдвигает график влево или вправо. Множитель перед всей функцией также не меняет период: например, \(7\sin(3x-1)\) и \(-\frac12\sin(3x-1)\) имеют один и тот же период \(\frac{2\pi}{3}\).
Каков минимальный положительный период функции \(y=\cos(5x+2)\)?
1. Нельзя считать периодом число \(b\) в выражении \(\sin(kx+b)\). 2. Нельзя забывать модуль: при \(k<0\) период всё равно положителен. 3. Для тангенса нельзя использовать \(2\pi/|k|\): его базовый период равен \(\pi\). 4. Коэффициент перед функцией, например \(4\) в \(4\cos x\), не влияет на период.
Разобранный пример: период суммы функций
Найдём минимальный положительный период функции \(f(x)=\sin 2x+\cos 3x\). Здесь нельзя сразу выбрать период одного слагаемого: период суммы должен одновременно подходить обоим слагаемым.
Найти минимальный период функции \(f(x)=\sin 2x+\cos 3x\).
Такой способ работает для сумм и разностей тригонометрических функций: сначала находят периоды отдельных слагаемых, затем ищут их наименьший общий положительный период. Но иногда отдельные части выражения преобразуются и сокращаются, поэтому полезно сначала применить тождества.
Например, \(\sin x\cos x=\frac12\sin 2x\), поэтому исходное выражение имеет период \(\pi\), а не период произведения «на глаз». Для преобразований можно использовать формулы произведения в сумму, формулы суммы и разности в произведение и амплитудно-фазовую форму.
Как находить минимальный период сложного выражения
Сложные выражения могут содержать несколько функций, степени, модули и композиции. Универсальный алгоритм таков:
- Упростите выражение, если это возможно: раскройте известные тождества и сократите одинаковые множители.
- Определите тип каждой тригонометрической функции: синус, косинус, тангенс или котангенс.
- Для каждого слагаемого найдите базовый период с учётом коэффициента при \(x\).
- Если функций несколько, найдите их общий период и выберите наименьший.
- Проверьте, не стал ли найденный период ещё меньше из-за симметрии, модуля или специального тождества.
Например, у \(|\sin x|\) минимальный период равен \(\pi\), потому что \(|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|\). У функции \(\sin^2x\) также период \(\pi\): при сдвиге на \(\pi\) синус меняет знак, но квадрат этого не замечает.
Подставьте найденное \(T\) в равенство \(f(x+T)=f(x)\) и преобразуйте левую часть. Для доказательства минимальности проверьте, нельзя ли взять половину, треть или другую меньшую часть найденного периода.
Для функций, где тригонометрическая функция стоит внутри другой функции, например \(\sin(\cos x)\) или \(\cos(2\sin x)\), отдельные правила требуют осторожности. Такие случаи разобраны на странице период сложной тригонометрической функции.
Quick-test
Проверьте результат
Главное
- Период — положительное число \(T\), для которого \(f(x+T)=f(x)\); минимальный период — наименьший такой \(T\).
- Для \(\sin x\) и \(\cos x\) базовый период равен \(2\pi\), для \(\tan x\) и \(\cot x\) — \(\pi\).
- В выражении с аргументом \(kx+b\) период делится на \(|k|\), а сдвиг \(b\) на него не влияет.
- Для суммы функций ищут общий период слагаемых, предварительно упрощая выражение.
- Всегда проверяйте минимальность: модуль, квадрат и тождества могут уменьшить период.