ЕГЭОГЭ
Задание № 14 · ЕГЭ

Формулы преобразования произведения в сумму

Как заменить произведение синусов и косинусов суммой или разностью
3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Формулы преобразования произведения в сумму заменяют произведение двух синусов, косинусов или синуса и косинуса суммой либо разностью тригонометрических функций. Они помогают упростить выражения и решить тригонометрические уравнения.

Формулы преобразования произведения в сумму
Это тригонометрические тождества, выражающие произведение функций через сумму или разность синусов и косинусов. Формулы выводятся из формул сложения и входят в систему основных тригонометрических тождеств.

Формулы

Для любых углов \(\alpha\) и \(\beta\) справедливы четыре основные формулы:

\[\sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}\]
\[\cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}\]
\[\sin\alpha\cdot\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\]
\[\cos\alpha\cdot\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}\]

В формулах важно сохранять порядок углов: при перестановке \(\alpha\) и \(\beta\) выражение можно привести к равносильному виду, используя свойства синуса и косинуса.

№
Пример

Преобразуем \(\sin 7x\cdot\sin 3x\). Используем формулу произведения синусов: \(\sin 7x\cdot\sin 3x=\frac{\cos(7x-3x)-\cos(7x+3x)}{2}=\frac{\cos 4x-\cos 10x}{2}\).

!
Не перепутайте

Эти формулы преобразуют произведение в сумму. Обратное направление — преобразование суммы в произведение — выполняется по другим формулам. Также не следует путать их с формулами двойного угла: там один и тот же угол обычно встречается дважды, например \(\sin 2\alpha\) или \(\cos 2\alpha\).

Проверьте себя

Как преобразуется произведение \(\cos\alpha\cdot\cos\beta\)?

Главное за минуту

Главное

  • Произведение синусов, косинусов и их сочетаний можно заменить суммой или разностью функций.
  • Для синусов используется разность косинусов, для косинусов — сумма косинусов; в смешанных произведениях появляются синусы.
  • Перед применением формулы проверьте вид произведения и внимательно расставьте скобки в углах.