Метод вспомогательного угла
Метод вспомогательного угла позволяет свести линейную комбинацию \(a\sin x+b\cos x\) к одному синусу или косинусу с новым углом. Это упрощает преобразования, сравнение выражений и решение тригонометрических уравнений.
Идея метода
Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа, не равные одновременно нулю. Его коэффициенты можно представить как координаты прямоугольного треугольника. Обозначим длину вектора коэффициентов через \(R\): это и будет амплитуда полученной функции.
Разделим коэффициенты на \(R\). Тогда числа \(\frac aR\) и \(\frac bR\) удовлетворяют основному тригонометрическому тождеству: сумма их квадратов равна единице. Поэтому существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi=\frac aR\), а \(\sin\varphi=\frac bR\).
Вспомогательный угол \(\varphi\) — угол, заданный соотношениями \(\cos\varphi=\frac aR\) и \(\sin\varphi=\frac bR\), где \(R=\sqrt{a^2+b^2}\). Он позволяет заменить два слагаемых одним синусом.
Основная формула
Используем формулы сложения для синуса: \(\sin(x+\varphi)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi\). Подставляя значения синуса и косинуса вспомогательного угла и вынося \(R\), получаем универсальную формулу метода.
Эту же комбинацию можно записать через косинус. Из формулы \(\cos(x-\varphi)=\cos x\cos\varphi+\sin x\sin\varphi\) следует:
Чтобы преобразовать \(a\sin x+b\cos x\): 1) найдите \(R=\sqrt{a^2+b^2}\); 2) разделите коэффициенты на \(R\); 3) выберите угол по значениям синуса и косинуса; 4) примените формулу сложения. Максимальное значение выражения равно \(R\), а минимальное — \(-R\).
Знак коэффициентов определяет четверть, в которой находится вспомогательный угол. Например, если \(a>0\) и \(b>0\), то \(\varphi\) можно выбрать в первой четверти. Если \(a<0\), \(b>0\), то угол находится во второй четверти, потому что его косинус отрицателен, а синус положителен.
| Знаки \(a\) и \(b\) | Знаки \(\cos\varphi\) и \(\sin\varphi\) | Четверть \(\varphi\) |
|---|---|---|
| \(a>0\), \(b>0\) | + , + | I |
| \(a<0\), \(b>0\) | − , + | II |
| \(a<0\), \(b<0\) | − , − | III |
| \(a>0\), \(b<0\) | + , − | IV |
Какова амплитуда выражения \(6\sin x-8\cos x\)?
Пошаговый пример
Преобразуем выражение \(3\sin x+4\cos x\) к виду одного синуса. Такой приём часто нужен, когда требуется найти наибольшее значение выражения или решить неравенство.
Выражение имеет вид \(5\sin(x+\varphi)\), поэтому его наибольшее значение равно \(5\), а наименьшее — \(-5\). Для поиска конкретных \(x\) дополнительно решают уравнение \(\sin(x+\varphi)=1\) или \(\sin(x+\varphi)=-1\).
Применение к уравнениям и неравенствам
Если дано уравнение \(a\sin x+b\cos x=c\), после преобразования оно принимает вид \(R\sin(x+\varphi)=c\). При \(|c|>R\) решений нет, потому что значение синуса лежит от \(-1\) до \(1\). При \(|c|\le R\) уравнение можно решать стандартными способами.
Например, уравнение \(3\sin x+4\cos x=6\) решений не имеет: левая часть по модулю не превосходит \(5\), а число \(6\) больше \(5\). Это рассуждение часто короче полного решения через уравнения с синусом и косинусом.
Для неравенств метод также заменяет сложное выражение простым синусом или косинусом. Затем учитывают период функции; при необходимости повторяют свойства из страницы о периодах тригонометрических функций.
Если требуется только максимум, минимум или проверка существования решений, угол \(\varphi\) можно не вычислять. Достаточно найти \(R=\sqrt{a^2+b^2}\).
Связь с амплитудно-фазовой формой
Запись \(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)\) называется амплитудно-фазовой формой. Число \(R\) — амплитуда, а \(\varphi\) — фазовый сдвиг. Она показывает, что сумма синуса и косинуса с одинаковой частотой остаётся синусоидой той же частоты, меняются только амплитуда и положение графика.
Если перед синусом или косинусом нет коэффициента, его считают равным единице. Например, \(\sin x-\cos x\) имеет \(R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\). Можно получить \(\sqrt2\sin\left(x-\frac\pi4\right)\), поскольку \(\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}\).
1. Нельзя брать \(R=|a|+|b|\): правильно \(R=\sqrt{a^2+b^2}\). 2. Нельзя выбирать угол только по тангенсу, не проверив знаки синуса и косинуса: это может дать неправильную четверть. 3. В формуле \(R\sin(x+\varphi)\) коэффициент при \(\sin x\) равен \(R\cos\varphi\), а при \(\cos x\) — \(R\sin\varphi\). 4. Не забывайте, что \(\sin(x+\varphi)\) и \(\cos(x-\varphi)\) имеют разные определения вспомогательного угла.
Алгоритм и самопроверка
- Запишите коэффициенты при синусе и косинусе: \(a\) и \(b\).
- Вычислите \(R=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Найдите отношения \(\frac aR\) и \(\frac bR\).
- Выберите четверть вспомогательного угла по знакам коэффициентов.
- Запишите выражение как \(R\sin(x+\varphi)\) или \(R\cos(x-\psi)\).
- Для оценки используйте \(-R\le a\sin x+b\cos x\le R\).
Quick-test
Главное
- \(a\sin x+b\cos x\) сводится к \(R\sin(x+\varphi)\), где \(R=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Вспомогательный угол задаётся равенствами \(\cos\varphi=\frac aR\) и \(\sin\varphi=\frac bR\).
- Амплитуда выражения равна \(R\), поэтому его значения лежат в пределах от \(-R\) до \(R\).
- Для уравнения \(a\sin x+b\cos x=c\) условие \(|c|>R\) сразу означает отсутствие решений.
- Знаки коэффициентов обязательны для правильного выбора четверти вспомогательного угла.