Уравнения с синусом и косинусом
Уравнения с синусом и косинусом одного аргумента часто сводятся к квадратному уравнению относительно \(\sin x\) или \(\cos x\), к однородному уравнению или к формуле вспомогательного угла. Ниже разобраны основные способы, которые нужны для решения общих тригонометрических уравнений и заданий ЕГЭ-14.
Что называют уравнением с синусом и косинусом
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции. На этой странице рассматриваются выражения с одним и тем же аргументом, например \(\sin x\) и \(\cos x\), а также их степени и произведения: \(\sin^2x\), \(\sin x\cos x\), \(\cos^2x\).
Сначала нужно распознать структуру уравнения, а затем выбрать замену или тождество. Нельзя автоматически делить на \(\sin x\) или \(\cos x\): при этом можно потерять корни, для которых делитель равен нулю.
Для любого действительного \(x\) выполняется основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Оно позволяет заменить квадрат одной функции через квадрат другой.
Полезно помнить также формулы двойного угла и произведения. Их вывод и применение связаны с формулами сложения, а преобразование линейной комбинации синуса и косинуса — с методом вспомогательного угла.
Уравнения, сводимые к квадратному
Если в уравнении встречаются только \(\sin x\) и \(\sin^2x\), удобно сделать замену \(t=\sin x\). После решения квадратного уравнения нужно обязательно проверить условие \(-1\le t\le1\) и решить получившиеся простейшие уравнения.
Аналогично при наличии \(\cos x\) и \(\cos^2x\) используют замену \(t=\cos x\). Если после замены получено значение вне отрезка \([-1;1]\), соответствующая ветвь решений отбрасывается.
Если есть \(\sin^2x\) и \(\sin x\), заменяйте \(\sin x\). Если есть \(\cos^2x\) и \(\cos x\), заменяйте \(\cos x\). Если присутствуют и синус, и косинус, сначала попробуйте применить \(\sin^2x+\cos^2x=1\) или проверить однородность.
Однородные уравнения
Уравнение называется однородным, если все его слагаемые имеют одинаковую общую степень относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Например, \(a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0\) — однородное уравнение второй степени.
В таком случае часто делят уравнение на \(\cos^2x\) и получают квадратное уравнение относительно \(\tan x\). Но перед делением нужно отдельно проверить случай \(\cos x=0\). Если делить на \(\sin^2x\), отдельно проверяют \(\sin x=0\).
При делении на \(\cos x\) или \(\cos^2x\) сначала рассмотрите случай \(\cos x=0\). При делении на \(\sin x\) отдельно рассмотрите \(\sin x=0\). Иначе часть решений может исчезнуть.
Какое действие обязательно перед делением однородного уравнения на \(\cos^2x\)?
Линейная комбинация синуса и косинуса
Уравнение вида \(a\sin x+b\cos x=c\) решают методом вспомогательного угла. Выражение слева представляют как произведение числа \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) на синус или косинус разности углов.
После преобразования получают простейшее уравнение \(\sin(x+\varphi)=\frac{c}{R}\). Оно имеет решения только при \(\left|\frac{c}{R}\right|\le1\), то есть \(|c|\le R\). Это условие иногда позволяет сразу доказать отсутствие решений.
Для любых \(x\) выполняется \(|a\sin x+b\cos x|\le\sqrt{a^2+b^2}\). Поэтому уравнение \(a\sin x+b\cos x=c\) не имеет решений, если \(|c|>\sqrt{a^2+b^2}\).
Разобранный пример
Решим уравнение \(2\sin^2x+\sin x\cos x-\cos^2x=0\) на множестве действительных чисел.
Показать решение ЕГЭ-14
\(x=\arctan\frac12+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Отдельная проверка случая \(\cos x=0\) показала, что дополнительные корни не появляются.
Универсальный алгоритм
- Приведите уравнение к удобному виду: раскройте скобки, перенесите слагаемые, примените тождества.
- Определите структуру: квадратная замена, однородное уравнение или линейная комбинация.
- Перед делением на синус или косинус рассмотрите случай, когда делитель равен нулю.
- Решите полученное алгебраическое или простейшее тригонометрическое уравнение.
- Проверьте ограничения: \(\sin x\) и \(\cos x\) лежат в \([-1;1]\), а выбранная замена не должна нарушать исходное уравнение.
- Запишите общий ответ с правильным периодом.
Для проверки числа решений на отрезке полезно учитывать период функции. Если аргумент сложный, обратитесь к странице о периоде сложной тригонометрической функции. При исследовании количества корней могут пригодиться промежутки монотонности и свойства производной.
1. Потеря решений при делении без отдельной проверки нулевого делителя. 2. Принятие значения \(t=2\) за возможный синус или косинус. 3. Неверный период: у синуса и косинуса период \(2\pi\), у тангенса — \(\pi\). 4. Запись только одного корня уравнения \(\sin x=a\) или \(\cos x=a\). 5. Отсутствие проверки после возведения в квадрат.
Простейшие уравнения и запись ответа
В формулах для синуса и косинуса необходимо условие \(|a|\le1\). Для отбора корней на заданном промежутке подставляют целые значения \(k\) и оставляют только те \(x\), которые принадлежат промежутку.
Главное
- Используйте \(\sin^2x+\cos^2x=1\) и замены \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\) для квадратных уравнений.
- Однородное уравнение часто сводится к квадратному относительно \(\tan x\), но деление требует отдельной проверки.
- Линейная комбинация \(a\sin x+b\cos x\) преобразуется методом вспомогательного угла.
- Всегда учитывайте ограничения \(-1\le\sin x,\cos x\le1\) и правильный период решений.
- После преобразований проверяйте найденные корни в исходном уравнении.