Общие тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции. В этой теме систематизированы общие методы решения: сведение к известным видам, разложение на множители, замена переменной и отбор корней.
1. Что значит решить тригонометрическое уравнение
Решить уравнение — значит найти все значения \(x\), при которых обе его части определены и равны. В отличие от алгебраических уравнений, тригонометрические уравнения обычно имеют бесконечно много корней, повторяющихся с некоторым периодом.
Общим решением называют множество всех корней, записанное через целое число \(k\in\mathbb{Z}\). Периодом функции называют такое ненулевое число \(T\), что значение функции не меняется при замене \(x\) на \(x+T\). Для синуса и косинуса основной период равен \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
Перед преобразованиями полезно выписать ОДЗ. Например, в выражениях с \(\tan x\) необходимо исключить точки \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), а в дробях — значения, обращающие знаменатель в ноль. Формулы базовых уравнений приведены на страницах уравнения sin x = a и уравнения cos x = a.
Если \(f(x+T)=f(x)\), то найденный корень нужно дополнять слагаемым \(Tk\), где \(k\in\mathbb Z\). Для выражения \(\sin(mx+n)\) период равен \(\frac{2\pi}{|m|}\), а для \(\tan(mx+n)\) — \(\frac{\pi}{|m|}\).
2. Приведение к простейшим уравнениям
Сначала применяют основные тригонометрические тождества, чтобы в уравнении осталась одна функция или выражение, для которого известны стандартные формулы. Наиболее часто используются тождество \(\sin^2x+\cos^2x=1\), формулы двойного угла и формулы приведения.
Если уравнение содержит только \(\sin x\) и \(\cos^2x\), удобно заменить \(\cos^2x\) на \(1-\sin^2x\). Если встречаются только \(\cos x\) и \(\sin^2x\), аналогично используют \(\sin^2x=1-\cos^2x\). После этого получается квадратное уравнение относительно одной переменной.
Смотрите не на количество слагаемых, а на степени функций. Выражение \(2\sin^2x-3\sin x+1\) сразу рассматривается как квадратное уравнение относительно \(t=\sin x\). Для сочетания \(\sin x\cos x\) часто выгодно применить формулу двойного угла.
Какую замену удобно сделать в уравнении \(2\cos^2x-\cos x-1=0\)?
3. Разложение на множители и метод нулевого произведения
Если после преобразований получается произведение, равное нулю, каждый множитель приравнивают к нулю. Затем решают получившиеся простейшие уравнения и объединяют множества корней.
Типичный пример: \(\sin x\cos x=\sin x\). Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель: \(\sin x(\cos x-1)=0\). Далее рассматриваются два случая. Важно не делить сразу на \(\sin x\): при этом можно потерять корни, для которых \(\sin x=0\).
Нельзя без проверки делить уравнение на \(\sin x\), \(\cos x\) или любой другой множитель. Если этот множитель может быть равен нулю, соответствующие корни исчезнут. Правильный путь — разложение на множители и рассмотрение каждого случая.
4. Однородные уравнения и сведение к тангенсу
Однородным называют уравнение, в котором все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Например, \(a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0\) — однородное уравнение второй степени.
Если \(\cos x\ne0\), можно разделить всё уравнение на \(\cos^2x\) и получить квадратное уравнение относительно \(\tan x\): \(a\tan^2x+b\tan x+c=0\). Но случай \(\cos x=0\) нужно проверить отдельно до деления.
1. Проверить случай \(\cos x=0\). 2. При \(\cos x\ne0\) разделить уравнение на \(\cos^2x\). 3. Сделать замену \(t=\tan x\). 4. Решить алгебраическое уравнение и вернуться к \(x\). Если удобнее делить на \(\sin^2x\), отдельно проверяют случай \(\sin x=0\).
Для уравнений первой степени вида \(a\sin x+b\cos x=c\) деление на косинус обычно не является лучшим методом. Такие уравнения относятся к уравнениям с синусом и косинусом и решаются через представление левой части в виде \(R\sin(x+\varphi)\) или \(R\cos(x-\varphi)\).
5. Разобранный пример: квадратное уравнение относительно синуса
Решим уравнение \(2\sin^2x+\sin x-1=0\) на промежутке \([0;2\pi]\). Это типичная задача: сначала решается алгебраическое уравнение, затем отбираются значения аргумента на заданном промежутке.
На отрезке \([0;2\pi]\) ответ: \(x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}\). Если бы требовалось общее решение, оно записывалось бы так: \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
При решении на промежутке недостаточно выписать общую формулу: нужно проверить границы и оставить только подходящие значения. Для отбора можно использовать единичную окружность, таблицу значений или график. Если преобразования становятся громоздкими, полезно исследовать функцию и её монотонность; этому посвящена страница Промежутки монотонности.
6. Алгоритм решения и проверка ответа
- Определите ОДЗ и выпишите ограничения на \(x\).
- Перенесите все слагаемые в одну часть, приведите подобные и попробуйте применить тождества.
- Выберите метод: простейшее уравнение, замена переменной, разложение на множители, однородное уравнение или сведение суммы к одной тригонометрической функции.
- Решите каждое полученное уравнение с учётом периода.
- Если задан промежуток, отберите корни именно на нём.
- Подставьте найденные значения в исходное уравнение, особенно если выполнялись возведение в квадрат, деление или сокращение.
Не путайте периоды: у \(\sin x\) и \(\cos x\) период \(2\pi\), у \(\tan x\) — \(\pi\). Не забывайте ограничение \(|\sin x|\le1\) и \(|\cos x|\le1\). После возведения в квадрат возможны посторонние корни, поэтому нужна проверка. В записи ответа обязательно указывайте \(k\in\mathbb Z\).
Проверь себя
Главное
- Базовые уравнения решаются по формулам с правильным периодом.
- Тождества позволяют свести сложное уравнение к квадратному относительно \(\sin x\) или \(\cos x\).
- Произведение, равное нулю, раскрывается через отдельные случаи; деление на переменный множитель опасно.
- В однородном уравнении перед делением на \(\sin^2x\) или \(\cos^2x\) проверяют исключённый случай.
- После решения нужно проверить ОДЗ, отобрать корни на заданном промежутке и подставить их в исходное уравнение.