Задания № 14, 17 · ЕГЭ

Уравнения cos x = a

Определение, формулы общего решения и короткий пример

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение $\cos x=a$ — простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения существуют только при $-1\le a\le 1$ и записываются через арккосинус или специальной общей формулой.

Уравнение $\cos x=a$

Это уравнение, в котором требуется найти все значения угла $x$, косинус которого равен заданному числу $a$. Здесь $x$ измеряется в радианах, если иное не указано.

Формула общего решения

Сначала проверяют допустимость числа $a$. Так как значения косинуса находятся в отрезке $[-1;1]$, при $a<-1$ или $a>1$ решений нет.

\[\cos x=a,\quad -1\le a\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.\]

Эквивалентная запись использует симметрию косинуса: если $\alpha=\arccos a$, то $x=2\pi n\pm\alpha$. На отрезке $[0;2\pi]$ обычно получают два значения: $x=\alpha$ и $x=2\pi-\alpha$, кроме случаев $a=1$ и $a=-1$.

№

Пример

Решим $\cos x=\frac{1}{2}$. Так как $\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$, общее решение имеет вид $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb Z$. Эквивалентно: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$.

Не перепутайте

Неравенства с синусом и косинусом решаются не формулой для уравнения: в них нужно учитывать промежутки знакопостоянства и границы. Также нельзя писать только $x=\arccos a$: это лишь одно основное значение, а не все решения.

Проверьте себя

Как записать все решения уравнения $\cos x=0$?

Главное за минуту

Главное

Уравнение $\cos x=a$ имеет решения только при $-1\le a\le 1$.
Общее решение: $x=\pm\arccos a+2\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.
Запись только $x=\arccos a$ даёт одно основное значение, но не все решения.

Формула общего решения

Как записать все решения уравнения \(\cos x=0\)?

Главное