Неравенства с синусом и косинусом
Неравенства с синусом и косинусом решают, отмечая на единичной окружности точки, где значение функции равно заданному числу, а затем выбирая дуги с нужными значениями. Такой способ особенно удобен для неравенств \(\sin x\ge a\), \(\sin x<a\), \(\cos x\le a\) и подобных.
Основной алгоритм
- Проверить, принадлежит ли правая часть отрезку \([-1;1]\). Если, например, \(\sin x>2\), решений нет, а \(\cos x\le2\) верно при любом \(x\).
- Рассмотреть на окружности точки, соответствующие равенству: \(\sin x=a\) или \(\cos x=a\). При необходимости использовать уравнения sin x = a и уравнения cos x = a.
- Выбрать дугу, на которой синус или косинус удовлетворяет нужному сравнению.
- Записать углы выбранной дуги с учётом периода \(2\pi\).
Решим \(\cos x\ge\frac12\). На окружности косинус — это абсцисса точки. Равенство \(\cos x=\frac12\) выполняется при \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\). Значения не меньше \(\frac12\) находятся на дуге около положительного направления оси \(Ox\): \(-\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{\pi}{3}\). Поэтому ответ: \(x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).
В неравенствах важно учитывать границы: знак \(\ge\) или \(\le\) включает точки равенства, а знак \(>\) или \(<\) — исключает их. Кроме того, синус — ордината точки окружности, а косинус — её абсцисса; поэтому дуги для них выбираются по-разному.
Какой промежуток задаёт решение неравенства \(\sin x\ge0\) на отрезке \([0;2\pi]\)?
Главное
- Синус на окружности — ордината, косинус — абсцисса; по нужному сравнению выбирают соответствующую дугу.
- Сначала проверяют диапазон \([-1;1]\), затем находят граничные углы и учитывают период \(2\pi\).
- Границы включаются только при знаках \(\ge\) и \(\le\); параметр общего решения \(k\in\mathbb Z\).