Неравенства с тангенсом
Неравенство с тангенсом решают с учётом области определения и периодичности функции. На каждом промежутке между соседними точками \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) тангенс строго возрастает, поэтому знак неравенства можно переносить на аргументы.
Основное правило
Функция тангенса возрастает на каждом промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\). Поэтому сначала находят угол \(\alpha=\arctan a\), а затем учитывают период \(\pi\). Определение и свойства арктангенса помогают выбрать единственное значение \(\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
При нестрогих знаках \(\ge\) или \(\le\) точку \(x=\arctan a+\pi k\) включают. Точки \(\frac{\pi}{2}+\pi k\) всегда исключают: в них тангенс не определён. Если аргументом является выражение \(f(x)\), применяют те же правила к \(f(x)\) и отдельно проверяют область определения.
Решим \(\tan x>1\). Так как \(\arctan 1=\frac{\pi}{4}\), получаем \(\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Неравенство можно решать после повторения уравнений tg x = a, но здесь ответом является промежуток, а не набор отдельных точек.
Тангенс имеет период \(\pi\), а не \(2\pi\), как синус и косинус. Кроме того, нельзя записывать \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) и умножать неравенство на \(\cos x\) без разбора его знака: он меняется на разных промежутках.
Какое множество является решением неравенства \(\tan x\le 0\)?
Главное
- Проверяйте область определения: \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\).
- Тангенс возрастает и повторяется через \(\pi\), поэтому используйте \(\arctan a+\pi k\).
- Точки равенства включают только при знаках \(\ge\) и \(\le\); точки разрыва не включают никогда.