Задания № 14, 17 · ЕГЭ

Уравнения tg x = a

Общее решение простейшего тригонометрического уравнения с тангенсом

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение $\tg x=a$ имеет бесконечно много решений: $x=\arctg a+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$. Это связано с тем, что тангенс повторяет свои значения через каждые $\pi$ радиан.

Уравнение $\tg x=a$Тангенс определён как отношение синуса к косинусу: $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$ при $\cos x\ne0$.

Простейшее тригонометрическое уравнение, в котором требуется найти все значения переменной $x$, при которых тангенс равен заданному числу $a$. Здесь $a$ — любое действительное число, а $n$ — любое целое число.

Формула общего решения

Сначала находят одно основное значение угла с помощью арккосинуса? Нет: для уравнения с тангенсом используется аркктангенс. Затем к нему прибавляют все периоды тангенса — числа $\pi n$.

\[x=\arctg a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Арктангенс $\arctg a$ обычно выбирают в промежутке $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$. Важно помнить: тангенс не определён при $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, поэтому такие значения не могут быть решениями.

№

Пример

Решим уравнение $\tg x=1$. Так как $\arctg 1=\frac{\pi}{4}$, получаем $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Например, при $n=0$ имеем $x=\frac{\pi}{4}$, а при $n=1$ — $x=\frac{5\pi}{4}$.

Не перепутайте период

Период тангенса равен $\pi$, а не $2\pi$: $\tg(x+\pi)=\tg x$. Поэтому запись $x=\arctg a+2\pi n$ содержит не все решения. Неравенства с тангенсом решаются по-другому: там дополнительно учитывают промежутки знакопостоянства.

Проверьте себя

Как записывается общее решение уравнения $\tg x=0$?

Главное за минуту

Главное

Для уравнения $\tg x=a$ общее решение: $x=\arctg a+\pi n$, где $n\in\mathbb Z$.
Период тангенса равен $\pi$, поэтому нужно прибавлять именно $\pi n$.
Точки $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ исключаются: в них тангенс не существует.

Формула общего решения

Как записывается общее решение уравнения \(\tg x=0\)?

Главное