Арктангенс
Арктангенс числа — это угол, тангенс которого равен данному числу. Обозначается \(\arctan x\) и является обратной функцией к тангенсу на специально выбранном промежутке.
Чтобы понимать выбор этого промежутка, полезно сначала повторить устройство тригонометрической окружности. Функция тангенса периодична, поэтому одному значению тангенса соответствуют бесконечно многие углы. Арктангенс выбирает среди них единственное значение.
Формула и области
Тангенс существует для всех действительных чисел аргумента, кроме точек, где косинус равен нулю. Но значения тангенса могут быть любыми действительными числами. Поэтому область определения арктангенса — все действительные числа, а область значений — открытый промежуток \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\arctan 1=\frac{\pi}{4}\), потому что \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), а \(\frac{\pi}{4}\) принадлежит промежутку \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\). Аналогично, \(\arctan 0=0\).
Арктангенс — не то же самое, что \(\frac{1}{\tan x}\). Запись \(\arctan x\) означает обратную функцию, а \(\frac{1}{\tan x}\) — величину, обратную значению тангенса. Например, \(\arctan 1=\frac{\pi}{4}\), но \(\frac{1}{\tan 1}\) — другое число.
Какова область значений функции \(y=\arctan x\)?
Главное
- \(\arctan x\) — это угол \(y\) из промежутка \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\), для которого \(\tan y=x\).
- Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\).
- Арктангенс не следует путать с величиной \(\frac{1}{\tan x}\); уравнения с тангенсом используют то же основное соответствие \(\tan y=x\).