Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции позволяют по значению синуса, косинуса или тангенса восстановить угол. В этой теме важно помнить не только обозначения, но и специально выбранные области значений: именно они делают ответ единственным.
Зачем нужны обратные функции
Тригонометрические функции периодичны: одному и тому же значению могут соответствовать бесконечно многие углы. Например, равенство \(\sin x=\frac{1}{2}\) выполняется при \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Поэтому на всей числовой прямой синус не имеет обратной функции в обычном смысле.
Чтобы получить обратную функцию, выбирают отрезок, на котором исходная функция строго монотонна и принимает каждое значение только один раз. Для понимания этих отрезков полезно сначала повторить тригонометрическую окружность.
Обратная тригонометрическая функция возвращает единственный угол из заранее выбранного основного промежутка. Запись \(y=\arcsin x\) означает не «один из углов», а строго определённое значение угла \(y\).
| Функция | Что означает | Область определения | Область значений |
|---|---|---|---|
| \(y=\arcsin x\) | \(\sin y=x\) | \(x\in[-1;1]\) | \(y\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) |
| \(y=\arccos x\) | \(\cos y=x\) | \(x\in[-1;1]\) | \(y\in[0;\pi]\) |
| \(y=\arctan x\) | \(\tan y=x\) | \(x\in\mathbb R\) | \(y\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\) |
Арксинус
Арксинус числа \(a\) — это такой угол \(y\) из отрезка \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\), синус которого равен \(a\). Обозначение: \(y=\arcsin a\).
\(\arcsin a=y\) тогда и только тогда, когда \(\sin y=a\) и \(y\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\). Арксинус определён только при \(-1\le a\le1\).
Функция \(\arcsin x\) возрастает на отрезке \([-1;1]\). Поэтому если \(a<b\), то \(\arcsin a<\arcsin b\). Значения арксинуса удобно находить по таблице основных углов или по тригонометрической окружности.
Арккосинус
Арккосинус числа \(a\) — единственный угол \(y\) из отрезка \([0;\pi]\), косинус которого равен \(a\). Обозначение: \(y=\arccos a\).
\(\arccos a=y\) тогда и только тогда, когда \(\cos y=a\) и \(y\in[0;\pi]\). Область определения: \([-1;1]\), область значений: \([0;\pi]\).
Арккосинус убывает: большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Это связано с тем, что косинус убывает на отрезке \([0;\pi]\).
Эта формула особенно полезна при преобразовании выражений. Например, \(\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\), потому что \(\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\) и сумма равна \(\frac{\pi}{2}\).
Арктангенс
Арктангенс числа \(a\) — единственный угол \(y\) из интервала \((-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\), тангенс которого равен \(a\). Обозначение: \(y=\arctan a\).
\(\arctan a=y\) тогда и только тогда, когда \(\tan y=a\) и \(y\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\). Арктангенс определён при любом действительном \(a\).
Функция \(\arctan x\) возрастает на всей числовой прямой. Она принимает значения только между \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\), но самих концов не достигает: тангенс не определён при \(y=\pm\frac{\pi}{2}\).
Какое равенство верно?
Основные свойства и формулы
Для допустимых значений аргумента обратная функция отменяет действие исходной: \(\sin(\arcsin x)=x\), \(\cos(\arccos x)=x\), \(\tan(\arctan x)=x\).
Если угол находится вне основного промежутка, сначала нужно преобразовать его с помощью периодичности и формул приведения. Нельзя автоматически сокращать запись вроде \(\arcsin(\sin 2\pi)\) до \(2\pi\): результат должен попасть в промежуток \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\).
1) Путать \(\arcsin x\) с \(\frac{1}{\sin x}\): это разные выражения. 2) Забывать область определения: \(\arcsin 2\) и \(\arccos(-3)\) не существуют в действительных числах. 3) Считать, что \(\arcsin(\sin x)=x\) при любом \(x\). 4) Записывать для арктангенса концы промежутка: область значений открытая.
Проверьте знак и диапазон. Для арксинуса ответ находится от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), для арккосинуса — от \(0\) до \(\pi\), для арктангенса — строго между \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).
Разобранный пример
Вычислим \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arctan(-1)\).
\(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arctan(-1)=\frac{7\pi}{12}\).
Алгоритм решения заданий
- Определите, какая обратная функция используется.
- Проверьте, принадлежит ли аргумент её области определения.
- Вспомните основной промежуток значений функции.
- Найдите соответствующий табличный угол по знаку и значению.
- Если внутри стоит исходная тригонометрическая функция, сначала приведите угол к основному промежутку.
В заданиях на преобразование выражений часто встречаются функции, периоды которых разбираются на страницах период синуса, период косинуса и период тангенса. Сами обратные функции не являются периодическими.
Проверь себя
Кратко
- \(\arcsin x\) определён при \(x\in[-1;1]\) и принимает значения в \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\).
- \(\arccos x\) определён при \(x\in[-1;1]\) и принимает значения в \([0;\pi]\).
- \(\arctan x\) определён при всех \(x\in\mathbb R\) и принимает значения в \((-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\).
- Записи \(\arcsin(\sin x)=x\), \(\arccos(\cos x)=x\) и \(\arctan(\tan x)=x\) верны только на соответствующих основных промежутках.
- При вычислении сначала учитывайте знак, табличное значение и область значений обратной функции.