Нахождение минимального периода
Минимальный период — это наименьшее положительное число, на которое можно сдвинуть аргумент функции без изменения её значения. Для суммы и произведения функций сначала находят общий период слагаемых или множителей, а затем проверяют, не существует ли меньший период у всего выражения.
Алгоритм
- Определите периоды отдельных функций, используя свойства синуса и косинуса или другие известные формулы.
- Найдите наименьшее положительное общее число, кратное этим периодам. Если периоды имеют вид дробей, удобно привести их к общему виду и использовать условие \(T=k_1T_1=k_2T_2\).
- Подставьте \(x+T\) в исходную сумму или произведение и упростите выражение.
- Проверьте, нельзя ли выбрать меньшее положительное число. Для этого применяйте тождества, преобразующие выражение, или сравнивайте его с известными периодическими функциями.
Рассмотрим \(f(x)=\sin x\cdot\cos x\). У каждого множителя период \(2\pi\), поэтому \(2\pi\) — общий период произведения. Но по формуле двойного угла \(f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x\). Период функции \(\sin 2x\) равен \(\frac{2\pi}{2}=\pi\). Значит, наименьший период произведения — \(\pi\).
Общий период отдельных функций всегда является периодом их суммы или произведения, но не обязательно наименьшим. Например, у \(\sin x\cdot\cos x\) общий период \(2\pi\), однако после преобразования минимальный период равен \(\pi\). Поэтому окончательный ответ нужно проверять по всей функции.
Каков наименьший период функции \(f(x)=\sin 3x+\cos 3x\)?
Для более сложных выражений полезно сначала преобразовать сумму или произведение: применить формулы приведения, двойного аргумента или правило периода сложной тригонометрической функции. Затем период находят у полученной простой формы.
Главное
- Период суммы или произведения можно найти как общий период входящих функций.
- Общий период не всегда является наименьшим: преобразуйте выражение и проверьте меньшие значения.
- Ответ должен быть положительным и минимальным числом \(T\), для которого сохраняется вся функция.