Период сложной тригонометрической функции
Период сложной тригонометрической функции — это такое положительное число \(T\), при сдвиге аргумента на которое значение функции не меняется: \(f(x+T)=f(x)\). Для функции с линейными аргументами период находят по периодам отдельных слагаемых, а затем проверяют, не существует ли меньший общий период.
Сначала полезно повторить свойства обычных синуса и косинуса на странице периодов тригонометрических функций. Для слагаемого вида \(\sin(kx+b)\) или \(\cos(kx+b)\) коэффициент \(b\) на период не влияет: он только сдвигает график. Коэффициент \(k\) изменяет период.
Для суммы нескольких слагаемых находят их минимальные периоды \(T_1,T_2,\ldots\) и ищут наименьшее положительное число, кратное каждому из них. На практике это общий период; затем подставляют \(x+T\) в исходную функцию и проверяют равенство. Такой алгоритм подробно рассматривается на странице нахождения минимального периода.
Найдём период функции \(f(x)=\sin 2x+\cos 4x\). У первого слагаемого период \(\pi\), у второго — \(\frac{\pi}{2}\). Наименьший общий период равен \(\pi\): \(\sin(2(x+\pi))=\sin 2x\), а \(\cos(4(x+\pi))=\cos 4x\). Значит, минимальный период функции — \(\boxed{\pi}\).
Период отдельного слагаемого не всегда является минимальным периодом всей функции. Кроме того, нельзя брать просто сумму периодов. Например, для \(\sin 2x+\cos 4x\) сумма равна \(\frac{3\pi}{2}\), но минимальный общий период — \(\pi\).
Каков минимальный период функции \(f(x)=\cos 3x+\sin 6x\)?
Главное
- Для \(\sin(kx+b)\) и \(\cos(kx+b)\) минимальный период равен \(\frac{2\pi}{|k|}\).
- Для суммы находят наименьший общий период всех слагаемых и проверяют его в исходной функции.
- Минимальный период — это наименьший положительный период, а не любой подходящий сдвиг.