Тригонометрические тождества через экспоненту

Комплексная экспонента связывает показательные и тригонометрические функции. Из формулы Эйлера, которая описывает число \(e^{ix}\) на единичной окружности, выводятся выражения для синуса и косинуса через экспоненты \(e^{ix}\) и \(e^{-ix}\).

Формула Эйлера и комплексная экспонента

В комплексных числах показательная функция определяется так, чтобы сохранялись привычные свойства экспоненты. Для чисто мнимого показателя \(ix\) она выражается через синус и косинус. Здесь \(x\) — действительное число, обычно угол в радианах.

Геометрически число \(e^{ix}\) имеет модуль \(1\) и аргумент \(x\). Поэтому при изменении \(x\) точка \(e^{ix}\) движется по единичной окружности. Действительная часть этой точки равна \(\cos x\), а коэффициент при \(i\) — \(\sin x\). Подробнее положение комплексного числа описывается в теме тригонометрической форме комплексного числа.

Вывод формул для синуса и косинуса

Чтобы получить отдельные формулы, запишем формулу Эйлера для \(x\) и для \(-x\). Так как косинус — чётная функция, а синус — нечётная, имеем \(\cos(-x)=\cos x\) и \(\sin(-x)=-\sin x\).

Как применять формулы в преобразованиях

Экспоненциальная запись особенно удобна при сложении, умножении и дифференцировании тригонометрических выражений. Сначала каждую функцию заменяют формулой (1) или (2), затем раскрывают скобки и используют свойства степеней: \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) и \(\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\).

Например, произведение экспонент с мнимыми показателями упрощается быстрее, чем произведение синусов и косинусов. Формулы также полезны при изучении производной: производная \(e^{ax}\) равна \(ae^{ax}\), поэтому после экспоненциальной замены вычисления часто становятся короче. Связь с правилами дифференцирования продолжает тема дифференциала функции, а геометрический смысл производной — геометрический смысл производной.

Разобранный пример: вычисление тригонометрического выражения

Упростим выражение \(\sin x\cos y+\cos x\sin y\) с помощью экспоненциальных формул. Ожидаемый результат связан с формулой сложения синуса, но выведем его непосредственно.

Тот же метод выводит и другие тождества. Например, из произведения \(e^{ix}e^{iy}=e^{i(x+y)}\) после сравнения действительных и мнимых частей получают формулы сложения для косинуса и синуса. Поэтому экспоненциальный подход не просто заменяет известные равенства, а объясняет их происхождение.

Связанные тождества и обратные переходы

Из двух основных формул можно выразить экспоненты через тригонометрические функции: \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\), а \(e^{-ix}=\cos x-i\sin x\). Эти равенства называют сопряжёнными: они отличаются знаком перед мнимой частью.

Возведение формулы Эйлера в квадрат и перемножение сопряжённых выражений приводит к тождеству \(\cos^2x+\sin^2x=1\). В задачах на преобразование выражений полезно помнить также формулы двойного угла и суммы, которые можно вывести тем же сравнением частей.

Если требуется решить тригонометрическое уравнение, экспоненциальная замена может превратить его в алгебраическое уравнение относительно \(z=e^{ix}\). Однако затем нужно проверить, какие значения \(z\) имеют вид \(e^{ix}\) и как восстановить действительные решения. Для стандартных преобразований используйте также страницу «Синус и косинус через экспоненту», а перед этой темой полезно повторить выражение синуса через экспоненту и выражение косинуса через экспоненту.