Косинус через экспоненту
Косинус можно выразить через сумму двух экспонент с мнимыми показателями: \(\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\). Эта запись следует из формулы Эйлера и используется при преобразовании тригонометрических выражений и работе с комплексными числами.
Формула
Формула верна для всех действительных и комплексных \(x\). Она получается из двух равенств Эйлера: \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) и \(e^{-ix}=\cos x-i\sin x\). При сложении мнимые части уничтожаются, а действительные складываются.
Найдём \(\cos 0\) по формуле: \(\cos 0=\frac{e^{i\cdot0}+e^{-i\cdot0}}{2}=\frac{1+1}{2}=1\). Это совпадает с обычным значением косинуса.
Косинусу соответствует сумма экспонент, а синусу — их разность: \(\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\). Подробное сравнение этих записей приведено в статье синус через экспоненту. Не следует также считать \(e^{ix}\) самим косинусом: это комплексное число, содержащее и косинус, и синус.
Как записать \(\cos x\) через экспоненты?
Такая запись удобна при доказательстве тригонометрических тождеств через экспоненту, а также при дифференцировании и интегрировании тригонометрических функций.
Главное
- \(\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\).
- Косинус получается сложением формул Эйлера для \(e^{ix}\) и \(e^{-ix}\).
- Не путайте сумму для косинуса с разностью, которая используется для синуса.