Производная функции
Производная функции показывает, с какой скоростью изменяется значение функции в данной точке. Она нужна для нахождения углового коэффициента касательной, промежутков возрастания и убывания, а также решения экзаменационных задач на исследование функции.
Определение производной
Пусть функция \(y=f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\). Придадим аргументу приращение \(\Delta x\) и рассмотрим приращение функции \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\). Отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) называется средняя скорость изменения функции на отрезке.
Производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует и конечен.
Производную обозначают \(f'(x)\), \(y'\) или \(\frac{dy}{dx}\). Если производная существует в каждой точке промежутка, говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке. Производная в точке может быть равна нулю, положительна или отрицательна.
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция не обязана иметь производную. Например, график \(y=|x|\) непрерывен при \(x=0\), но в этой точке нет единой касательной.
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции и две его точки: \(A(x_0,f(x_0))\) и \(B(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))\). Прямая \(AB\) называется секущей. Её угловой коэффициент равен \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). При приближении точки \(B\) к точке \(A\) секущая стремится к касательной.
Таким образом, значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Подробно связь производной с касательной разобрана на странице углового коэффициента касательной, а общий геометрический смысл производной помогает интерпретировать знак производной.
Если \(f'(x)>0\) на промежутке, функция возрастает на этом промежутке. Если \(f'(x)<0\), функция убывает. Условие \(f'(x)=0\) в одной точке само по себе ещё не доказывает наличие максимума или минимума.
Правила вычисления производных
В большинстве задач производную находят не по пределу, а с помощью таблицы элементарных производных и правил дифференцирования. Таблицу основных функций удобно изучить на странице таблицы производных элементарных функций.
Последняя формула называется правилом производной сложной функции: сначала дифференцируют внешнюю функцию, оставляя внутреннее выражение без изменения, затем умножают результат на производную внутреннего выражения. Производная степенной функции разобрана отдельно на странице производной степенной функции. Для показательных, логарифмических и тригонометрических выражений применяют специальные таблицы: производная показательной функции, производная логарифма, производные тригонометрических функций.
Чему равна производная функции \(y=(3x-1)^5\)?
Разобранный пример: производная и касательная
Найдём угловой коэффициент касательной к графику \(y=x^3-3x^2+2\) в точке с абсциссой \(x_0=2\), а затем составим уравнение касательной.
Угловой коэффициент касательной равен \(0\), поэтому касательная горизонтальна: \(y=-2\). Точка касания — \((2;-2)\). Нулевое значение производной означает горизонтальность касательной, но для вывода о максимуме или минимуме нужно исследовать знак производной по обе стороны точки.
Как находить производную функции
- Упростите выражение: раскройте скобки, приведите подобные слагаемые, если это удобно.
- Определите структуру функции: сумма, произведение, частное или сложная функция.
- Выберите нужное правило и примените таблицу производных.
- Если требуется значение производной, подставьте координату только после дифференцирования.
- Проверьте область допустимых значений исходной функции и знаки в ответе.
1) При вычислении \((uv)'\) нельзя писать \(u'v'\). Правильно: \(u'v+uv'\). 2) В сложной функции нельзя забывать множитель \(g'(x)\). 3) Производная константы равна нулю, а не самой константе. 4) Для частного знаменатель возводится в квадрат. 5) Если спрашивают значение производной в точке, сначала находят формулу \(f'(x)\), затем подставляют \(x_0\).
Сначала обозначьте внутреннюю функцию буквой, например \(u=2x^2+1\). Тогда \(y=\sin u\), \(y'=\cos u\cdot u'=4x\cos(2x^2+1)\). Такой способ уменьшает число ошибок в длинных выражениях.
Связанные понятия и дальнейшее исследование
Производная используется не только для построения касательной. С её помощью находят критические точки, исследуют экстремумы и решают задачи на наибольшее и наименьшее значение. Для более глубокого анализа применяют вторую производную. Приращение функции можно связать с дифференциалом функции, а в физических задачах производная описывает мгновенную скорость и другие скорости изменения величин: см. производную в физике.
Быстрая проверка
Главное
- Производная определяется пределом отношения приращения функции к приращению аргумента.
- Геометрически производная — угловой коэффициент касательной к графику.
- Основные правила: сумма, постоянный множитель, произведение, частное и сложная функция.
- Для вычислений сначала определяют структуру выражения, затем применяют таблицу производных.
- Знак производной связан с возрастанием и убыванием функции; равенство производной нулю требует дополнительного исследования.