Угловой коэффициент касательной
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Он показывает, насколько быстро меняется значение функции при увеличении аргумента.
Формула
Если касательная проведена к графику \(y=f(x)\) в точке \(x_0\), то её угловой коэффициент вычисляют так:
Уравнение касательной имеет вид \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). Знак коэффициента помогает определить поведение графика: при \(k>0\) касательная наклонена вверх слева направо, при \(k<0\) — вниз, а при \(k=0\) она горизонтальна. Подробнее связь производной с графиком рассматривается на странице геометрический смысл производной.
Для функции \(f(x)=x^2\) найдём угловой коэффициент касательной в точке \(x_0=3\). Производная равна \(f'(x)=2x\), поэтому \(k=f'(3)=6\). Значит, касательная в точке графика с абсциссой \(3\) имеет угловой коэффициент \(6\) и заметно поднимается слева направо.
Угловой коэффициент — это не угол наклона. Сам угол обозначают \(\alpha\), а коэффициент связан с ним формулой \(k=\tan\alpha\). Поэтому для нахождения угла нужно дополнительно вычислить \(\alpha=\arctan k\); правила работы с тангенсом угла между прямыми разобраны на странице тангенс угла между прямыми.
Чему равен угловой коэффициент касательной к графику \(f(x)=x^3\) в точке \(x_0=2\)?
Главное
- Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\) равен \(f'(x_0)\).
- Знак производной показывает направление наклона касательной: вверх, вниз или горизонтально.
- Угловой коэффициент \(k\) связан с углом наклона формулой \(k=\tan\alpha\).