Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной: в точке графика функции производная равна угловому коэффициенту касательной к этому графику. Она показывает, насколько быстро изменяется значение функции при небольшом изменении аргумента.
Угловой коэффициент касательной характеризует её наклон к положительному направлению оси \(Ox\). Если \(f'(x_0)>0\), касательная поднимается слева направо; если \(f'(x_0)<0\), она опускается. При \(f'(x_0)=0\) касательная горизонтальна.
Понятие углового коэффициента рассматривается на странице «Угловой коэффициент касательной», а точное определение производной — на странице «Производная функции». Геометрический смысл помогает связать вычисление производной с рисунком графика.
Формула касательной
Здесь \((x_0;f(x_0))\) — точка касания, а \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент касательной. Поэтому по формуле можно построить касательную, если известны точка и значение производной.
Для функции \(f(x)=x^2\) найдём производную: \(f'(x)=2x\). В точке \(x_0=1\) имеем \(f'(1)=2\). Значит, касательная к параболе в точке \((1;1)\) имеет угловой коэффициент \(2\), а её уравнение: \(y=1+2(x-1)\), то есть \(y=2x-1\).
Производная \(f'(x_0)\) — это число, характеризующее наклон касательной в одной точке. Она не равна значению функции \(f(x_0)\) и не описывает обязательно наклон всей кривой. Для всей функции записывают \(f'(x)\).
Что означает равенство \(f'(x_0)=-3\)?
Главное
- \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \((x_0;f(x_0))\).
- Знак производной показывает направление наклона касательной: положительный, отрицательный или нулевой.
- Уравнение касательной: \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).